log(x)-log(x)^2>=0 (неравенство)

Укажите решение неравенства: log(x)-log(x)^2>=0 (множество решений неравенства)

Вы ввели

            2        
log(x) - log (x) >= 0

$$- \log^{2}{\left (x \right )} + \log{\left (x \right )} \geq 0$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$- \log^{2}{\left (x \right )} + \log{\left (x \right )} \geq 0$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$- \log^{2}{\left (x \right )} + \log{\left (x \right )} = 0$$
Решаем:
Дано уравнение
$$- \log^{2}{\left (x \right )} + \log{\left (x \right )} = 0$$
преобразуем
$$\left(- \log{\left (x \right )} + 1\right) \log{\left (x \right )} = 0$$
$$- \log^{2}{\left (x \right )} + \log{\left (x \right )} = 0$$
Сделаем замену
$$w = \log{\left (x \right )}$$
Это уравнение вида

a*w^2 + b*w + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = -1$$
$$b = 1$$
$$c = 0$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(1)^2 - 4 * (-1) * (0) = 1

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$w_{1} = 0$$
$$w_{2} = 1$$
делаем обратную замену
$$\log{\left (x \right )} = w$$
Дано уравнение
$$\log{\left (x \right )} = w$$
$$\log{\left (x \right )} = w$$
Это уравнение вида:

log(v)=p

По определению log

v=e^p

тогда

     w
     -
     1
x = e 

упрощаем
$$x = e^{w}$$
подставляем w:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = e$$
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = e$$
Данные корни
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = e$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{9}{10}$$
=
$$\frac{9}{10}$$
подставляем в выражение
$$- \log^{2}{\left (x \right )} + \log{\left (x \right )} \geq 0$$

               2           
log(9/10) - log (9/10) >= 0

                     2                        
- (-log(10) + log(9))  - log(10) + log(9) >= 0
     

но

                     2                       
- (-log(10) + log(9))  - log(10) + log(9) < 0
    

Тогда
$$x \leq 1$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x \geq 1 \wedge x \leq e$$

         _____  
        /     \  
-------•-------•-------
       x1      x2

Быстрый ответ

And(1 <= x, x <= E)

$$1 \leq x \wedge x \leq e$$

Быстрый ответ 2

[1, E]

$$x \in \left[1, e\right]$$

График