log(x-1)^2<1 (неравенство)

Укажите решение неравенства: log(x-1)^2<1 (множество решений неравенства)

Вы ввели

   2           
log (x - 1) < 1

$$\log^{2}{\left (x - 1 \right )} < 1$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\log^{2}{\left (x - 1 \right )} < 1$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\log^{2}{\left (x - 1 \right )} = 1$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\log^{2}{\left (x - 1 \right )} = 1$$
преобразуем
$$\log^{2}{\left (x - 1 \right )} - 1 = 0$$
$$\log^{2}{\left (x - 1 \right )} - 1 = 0$$
Сделаем замену
$$w = \log{\left (x - 1 \right )}$$
Дано уравнение
$$\log^{2}{\left (x - 1 \right )} - 1 = 0$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 2 - содержит чётное число 2 в числителе, то
ур-ние будет иметь два действительных корня.
Извлечём корень 2-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt{\left(0 w + \log{\left (x - 1 \right )}\right)^{2}} = \sqrt{1}$$
$$\sqrt{\left(0 w + \log{\left (x - 1 \right )}\right)^{2}} = -1 \sqrt{1}$$
или
$$\log{\left (x - 1 \right )} = 1$$
$$\log{\left (x - 1 \right )} = -1$$
Раскрываем скобочки в левой части ур-ния

log-1+x = 1

Переносим свободные слагаемые (без w)
из левой части в правую, получим:
$$\log{\left (x - 1 \right )} + 1 = 2$$
Данное ур-ние не имеет решений
Раскрываем скобочки в левой части ур-ния

log-1+x = -1

Переносим свободные слагаемые (без w)
из левой части в правую, получим:
$$\log{\left (x - 1 \right )} + 1 = 0$$
Данное ур-ние не имеет решений
или

делаем обратную замену
$$\log{\left (x - 1 \right )} = w$$
Дано уравнение
$$\log{\left (x - 1 \right )} = w$$
$$\log{\left (x - 1 \right )} = w$$
Это уравнение вида:

log(v)=p

По определению log

v=e^p

тогда

         w
         -
         1
x - 1 = e 

упрощаем
$$x - 1 = e^{w}$$
$$x = e^{w} + 1$$
подставляем w:
$$x_{1} = \frac{1}{e} \left(1 + e\right)$$
$$x_{2} = 1 + e$$
$$x_{1} = \frac{1}{e} \left(1 + e\right)$$
$$x_{2} = 1 + e$$
Данные корни
$$x_{1} = \frac{1}{e} \left(1 + e\right)$$
$$x_{2} = 1 + e$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{1}{e^{1}} \left(1 + e\right)$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{1}{e} \left(1 + e\right)$$
подставляем в выражение
$$\log^{2}{\left (x - 1 \right )} < 1$$
$$\log^{2}{\left (-1 + - \frac{1}{10} + \frac{1}{e^{1}} \left(1 + e\right) \right )} < 1$$

   2/  11            -1\    
log |- -- + (1 + E)*e  | < 1
    \  10              /    

но

   2/  11            -1\    
log |- -- + (1 + E)*e  | > 1
    \  10              /    

Тогда
$$x < \frac{1}{e} \left(1 + e\right)$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > \frac{1}{e} \left(1 + e\right) \wedge x < 1 + e$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x1      x2

Быстрый ответ

   /                    -1    \
And\x < 1 + E, (1 + E)*e   < x/

$$x < 1 + e \wedge \frac{1}{e} \left(1 + e\right) < x$$

Быстрый ответ 2

          -1        
((1 + E)*e  , 1 + E)

$$x \in \left(\frac{1}{e} \left(1 + e\right), 1 + e\right)$$

График