-10-x^4>0 (неравенство)

Укажите решение неравенства: -10-x^4>0 (множество решений неравенства)

Вы ввели

       4    
-10 - x  > 0

$$- x^{4} - 10 > 0$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$- x^{4} - 10 > 0$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$- x^{4} - 10 = 0$$
Решаем:
Дано уравнение
$$- x^{4} - 10 = 0$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 4 - содержит чётное число 4 в числителе, то
ур-ние будет иметь два действительных корня.
Извлечём корень 4-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[4]{-1} \sqrt[4]{x^{4}} = \sqrt[4]{10}$$
$$\sqrt[4]{-1} \sqrt[4]{x^{4}} = -1 \sqrt[4]{10}$$
или
$$\sqrt[4]{-1} x = \sqrt[4]{10}$$
$$\sqrt[4]{-1} x = - \sqrt[4]{10}$$
Раскрываем скобочки в левой части ур-ния

x-1^1/4 = 10^(1/4)

Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

x-1^1/4 = 10^1/4

Разделим обе части ур-ния на (-1)^(1/4)

x = 10^(1/4) / ((-1)^(1/4))

Получим ответ: x = -(-1)^(3/4)*10^(1/4)
Раскрываем скобочки в левой части ур-ния

x-1^1/4 = -10^(1/4)

Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

x-1^1/4 = -10^1/4

Разделим обе части ур-ния на (-1)^(1/4)

x = -10^(1/4) / ((-1)^(1/4))

Получим ответ: x = (-1)^(3/4)*10^(1/4)
или
$$x_{1} = \left(-1\right)^{\frac{3}{4}} \sqrt[4]{10}$$
$$x_{2} = - \left(-1\right)^{\frac{3}{4}} \sqrt[4]{10}$$

Остальные 4 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{4} = -10$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{4} e^{4 i p} = -10$$
где
$$r = \sqrt[4]{10}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{4 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left (4 p \right )} + \cos{\left (4 p \right )} = 1$$
значит
$$\cos{\left (4 p \right )} = 1$$
и
$$\sin{\left (4 p \right )} = 0$$
тогда
$$p = \frac{\pi N}{2}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = - \frac{2^{\frac{3}{4}} \sqrt[4]{5}}{2} - \frac{2^{\frac{3}{4}} i}{2} \sqrt[4]{5}$$
$$z_{2} = - \frac{2^{\frac{3}{4}} \sqrt[4]{5}}{2} + \frac{2^{\frac{3}{4}} i}{2} \sqrt[4]{5}$$
$$z_{3} = \frac{2^{\frac{3}{4}} \sqrt[4]{5}}{2} - \frac{2^{\frac{3}{4}} i}{2} \sqrt[4]{5}$$
$$z_{4} = \frac{2^{\frac{3}{4}} \sqrt[4]{5}}{2} + \frac{2^{\frac{3}{4}} i}{2} \sqrt[4]{5}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

$$x_{1} = - \left(-1\right)^{\frac{3}{4}} \sqrt[4]{10}$$
$$x_{2} = \left(-1\right)^{\frac{3}{4}} \sqrt[4]{10}$$
Исключаем комплексные решения:
Данное ур-ние не имеет решений,
значит данное неравенство выполняется всегда или не выполняется никогда
проверим
подставляем произвольную точку, например

x0 = 0

       4    
-10 - 0  > 0

-10 > 0

зн. неравенство не имеет решений

Быстрый ответ

Данное неравенство не имеет решений