-1/2<sin(x) (неравенство)

Укажите решение неравенства: -1/2<sin(x) (множество решений неравенства)

Вы ввели

-1/2 < sin(x)

$$- \frac{1}{2} < \sin{\left(x \right)}$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$- \frac{1}{2} < \sin{\left(x \right)}$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$- \frac{1}{2} = \sin{\left(x \right)}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$- \frac{1}{2} = \sin{\left(x \right)}$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние

Разделим обе части ур-ния на -1

Ур-ние превратится в
$$\sin{\left(x \right)} = - \frac{1}{2}$$
Это ур-ние преобразуется в
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(- \frac{1}{2} \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(- \frac{1}{2} \right)} + \pi$$
Или
$$x = 2 \pi n - \frac{\pi}{6}$$
$$x = 2 \pi n + \frac{7 \pi}{6}$$
, где n - любое целое число
$$x_{1} = 2 \pi n - \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \frac{7 \pi}{6}$$
$$x_{1} = 2 \pi n - \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \frac{7 \pi}{6}$$
Данные корни
$$x_{1} = 2 \pi n - \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \frac{7 \pi}{6}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(2 \pi n - \frac{\pi}{6}\right) - \frac{1}{10}$$
=
$$2 \pi n - \frac{\pi}{6} - \frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$- \frac{1}{2} < \sin{\left(x \right)}$$
$$- \frac{1}{2} < \sin{\left(2 \pi n - \frac{\pi}{6} - \frac{1}{10} \right)}$$

           /1    pi\
-1/2 < -sin|-- + --|
           \10   6 /

но

           /1    pi\
-1/2 > -sin|-- + --|
           \10   6 /

Тогда
$$x < 2 \pi n - \frac{\pi}{6}$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > 2 \pi n - \frac{\pi}{6} \wedge x < 2 \pi n + \frac{7 \pi}{6}$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x1      x2

Быстрый ответ

  /   /            7*pi\     /11*pi              \\
Or|And|0 <= x, x < ----|, And|----- < x, x < 2*pi||
  \   \             6  /     \  6                //

$$\left(0 \leq x \wedge x < \frac{7 \pi}{6}\right) \vee \left(\frac{11 \pi}{6} < x \wedge x < 2 \pi\right)$$

Быстрый ответ 2

    7*pi     11*pi       
[0, ----) U (-----, 2*pi)
     6         6         

$$x\ in\ \left[0, \frac{7 \pi}{6}\right) \cup \left(\frac{11 \pi}{6}, 2 \pi\right)$$

График