5^x<1/2 (неравенство)

Укажите решение неравенства: 5^x<1/2 (множество решений неравенства)

Вы ввели

 x      
5  < 1/2

$$5^{x} < \frac{1}{2}$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$5^{x} < \frac{1}{2}$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$5^{x} = \frac{1}{2}$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$5^{x} = \frac{1}{2}$$
или
$$5^{x} - \frac{1}{2} = 0$$
или
$$5^{x} = \frac{1}{2}$$
или
$$5^{x} = \frac{1}{2}$$
- это простейшее показательное ур-ние
Сделаем замену
$$v = 5^{x}$$
получим
$$v - \frac{1}{2} = 0$$
или
$$v - \frac{1}{2} = 0$$
Переносим свободные слагаемые (без v)
из левой части в правую, получим:
$$v = \frac{1}{2}$$
делаем обратную замену
$$5^{x} = v$$
или
$$x = \frac{\log{\left (v \right )}}{\log{\left (5 \right )}}$$
$$x_{1} = \frac{1}{2}$$
$$x_{1} = \frac{1}{2}$$
Данные корни
$$x_{1} = \frac{1}{2}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{2}{5}$$
=
$$\frac{2}{5}$$
подставляем в выражение
$$5^{x} < \frac{1}{2}$$
$$5^{\frac{2}{5}} < \frac{1}{2}$$

 2/5      
5    < 1/2
      

но

 2/5      
5    > 1/2
      

Тогда
$$x < \frac{1}{2}$$
не выполняется
значит решение неравенства будет при:
$$x > \frac{1}{2}$$

         _____  
        /
-------ο-------
       x1

Быстрый ответ

   /             -log(2) \
And|-oo < x, x < --------|
   \              log(5) /

$$-\infty < x \wedge x < - \frac{\log{\left (2 \right )}}{\log{\left (5 \right )}}$$

Быстрый ответ 2

      -log(2)  
(-oo, --------)
       log(5)  

$$x \in \left(-\infty, - \frac{\log{\left (2 \right )}}{\log{\left (5 \right )}}\right)$$

График