5^x+(1/5)^x>2 (неравенство)

Укажите решение неравенства: 5^x+(1/5)^x>2 (множество решений неравенства)

Вы ввели

 x    -x    
5  + 5   > 2

$$5^{x} + \left(\frac{1}{5}\right)^{x} > 2$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$5^{x} + \left(\frac{1}{5}\right)^{x} > 2$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$5^{x} + \left(\frac{1}{5}\right)^{x} = 2$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$5^{x} + \left(\frac{1}{5}\right)^{x} = 2$$
или
$$\left(5^{x} + \left(\frac{1}{5}\right)^{x}\right) - 2 = 0$$
Сделаем замену
$$v = \left(\frac{1}{5}\right)^{x}$$
получим
$$v - 2 + \frac{1}{v} = 0$$
или
$$v - 2 + \frac{1}{v} = 0$$
делаем обратную замену
$$\left(\frac{1}{5}\right)^{x} = v$$
или
$$x = - \frac{\log{\left(v \right)}}{\log{\left(5 \right)}}$$
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Данные корни
$$x_{1} = 0$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + 0$$
=
$$- \frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$5^{x} + \left(\frac{1}{5}\right)^{x} > 2$$
$$\frac{1}{\sqrt[10]{5}} + \frac{1}{\sqrt[10]{\frac{1}{5}}} > 2$$

         9/10    
10___   5        
\/ 5  + ----- > 2
          5      
    

значит решение неравенства будет при:
$$x < 0$$

 _____          
      \    
-------ο-------
       x_1

Быстрый ответ

x != 0

x != 0

Быстрый ответ 2

(-oo, 0) U (0, oo)

$$x\ in\ \left(-\infty, 0\right) \cup \left(0, \infty\right)$$

График