sin(4*x)<-1/2 (неравенство)

Укажите решение неравенства: sin(4*x)<-1/2 (множество решений неравенства)

Вы ввели

sin(4*x) < -1/2

$$\sin{\left(4 x \right)} < - \frac{1}{2}$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\sin{\left(4 x \right)} < - \frac{1}{2}$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\sin{\left(4 x \right)} = - \frac{1}{2}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\sin{\left(4 x \right)} = - \frac{1}{2}$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$4 x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(- \frac{1}{2} \right)}$$
$$4 x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(- \frac{1}{2} \right)} + \pi$$
Или
$$4 x = 2 \pi n - \frac{\pi}{6}$$
$$4 x = 2 \pi n + \frac{7 \pi}{6}$$
, где n - любое целое число
Разделим обе части полученного ур-ния на
$$4$$
$$x_{1} = \frac{\pi n}{2} - \frac{\pi}{24}$$
$$x_{2} = \frac{\pi n}{2} + \frac{7 \pi}{24}$$
$$x_{1} = \frac{\pi n}{2} - \frac{\pi}{24}$$
$$x_{2} = \frac{\pi n}{2} + \frac{7 \pi}{24}$$
Данные корни
$$x_{1} = \frac{\pi n}{2} - \frac{\pi}{24}$$
$$x_{2} = \frac{\pi n}{2} + \frac{7 \pi}{24}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(\frac{\pi n}{2} - \frac{\pi}{24}\right) - \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{\pi n}{2} - \frac{\pi}{24} - \frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$\sin{\left(4 x \right)} < - \frac{1}{2}$$
$$\sin{\left(4 \left(\frac{\pi n}{2} - \frac{\pi}{24} - \frac{1}{10}\right) \right)} < - \frac{1}{2}$$

    /2   pi\       
-sin|- + --| < -1/2
    \5   6 /       

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x < \frac{\pi n}{2} - \frac{\pi}{24}$$

 _____           _____          
      \         /
-------ο-------ο-------
       x_1      x_2

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x < \frac{\pi n}{2} - \frac{\pi}{24}$$
$$x > \frac{\pi n}{2} + \frac{7 \pi}{24}$$

Быстрый ответ

   /7*pi          11*pi\
And|---- < x, x < -----|
   \ 24             24 /

$$\frac{7 \pi}{24} < x \wedge x < \frac{11 \pi}{24}$$

Быстрый ответ 2

 7*pi  11*pi 
(----, -----)
  24     24  

$$x\ in\ \left(\frac{7 \pi}{24}, \frac{11 \pi}{24}\right)$$

График