3*9^x-10*3^x+3>=0 (неравенство)

Укажите решение неравенства: 3*9^x-10*3^x+3>=0 (множество решений неравенства)

Вы ввели

   x       x         
3*9  - 10*3  + 3 >= 0

$$- 10 \cdot 3^{x} + 3 \cdot 9^{x} + 3 \geq 0$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$- 10 \cdot 3^{x} + 3 \cdot 9^{x} + 3 \geq 0$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$- 10 \cdot 3^{x} + 3 \cdot 9^{x} + 3 = 0$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$- 10 \cdot 3^{x} + 3 \cdot 9^{x} + 3 = 0$$
или
$$\left(- 10 \cdot 3^{x} + 3 \cdot 9^{x} + 3\right) + 0 = 0$$
Сделаем замену
$$v = 3^{x}$$
получим
$$3 v^{2} - 10 v + 3 = 0$$
или
$$3 v^{2} - 10 v + 3 = 0$$
Это уравнение вида

a*v^2 + b*v + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$v_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$v_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 3$$
$$b = -10$$
$$c = 3$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-10)^2 - 4 * (3) * (3) = 64

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

v1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

v2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$v_{1} = 3$$
Упростить
$$v_{2} = \frac{1}{3}$$
Упростить
делаем обратную замену
$$3^{x} = v$$
или
$$x = \frac{\log{\left(v \right)}}{\log{\left(3 \right)}}$$
$$x_{1} = \frac{1}{3}$$
$$x_{2} = 3$$
$$x_{1} = \frac{1}{3}$$
$$x_{2} = 3$$
Данные корни
$$x_{1} = \frac{1}{3}$$
$$x_{2} = 3$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{1}{3}$$
=
$$\frac{7}{30}$$
подставляем в выражение
$$- 10 \cdot 3^{x} + 3 \cdot 9^{x} + 3 \geq 0$$
$$- 10 \cdot 3^{\frac{7}{30}} + 3 + 3 \cdot 9^{\frac{7}{30}} \geq 0$$

        7/30      7/15     
3 - 10*3     + 3*3     >= 0
     

но

        7/30      7/15    
3 - 10*3     + 3*3     < 0
    

Тогда
$$x \leq \frac{1}{3}$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x \geq \frac{1}{3} \wedge x \leq 3$$

         _____  
        /     \  
-------•-------•-------
       x_1      x_2

Быстрый ответ

Or(And(1 <= x, x < oo), x <= -1)

$$\left(1 \leq x \wedge x < \infty\right) \vee x \leq -1$$

Быстрый ответ 2

(-oo, -1] U [1, oo)

$$x\ in\ \left(-\infty, -1\right] \cup \left[1, \infty\right)$$

График