(x-5)^2<sqrt(7)*(x+5) (неравенство)

Укажите решение неравенства: (x-5)^2<sqrt(7)*(x+5) (множество решений неравенства)

Вы ввели

       2     ___        
(x - 5)  < \/ 7 *(x + 5)

$$\left(x - 5\right)^{2} < \sqrt{7} \left(x + 5\right)$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\left(x - 5\right)^{2} < \sqrt{7} \left(x + 5\right)$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\left(x - 5\right)^{2} = \sqrt{7} \left(x + 5\right)$$
Решаем:
Перенесём правую часть уравнения в
левую часть уравнения со знаком минус.

Уравнение превратится из
$$\left(x - 5\right)^{2} = \sqrt{7} \left(x + 5\right)$$
в
$$- \sqrt{7} \left(x + 5\right) + \left(x - 5\right)^{2} = 0$$
Раскроем выражение в уравнении
$$- \sqrt{7} \left(x + 5\right) + \left(x - 5\right)^{2} = 0$$
Получаем квадратное уравнение
$$x^{2} - 10 x - \sqrt{7} x - 5 \sqrt{7} + 25 = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = -10 - \sqrt{7}$$
$$c = 25 - 5 \sqrt{7}$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-10 - sqrt(7))^2 - 4 * (1) * (25 - 5*sqrt(7)) = -100 + (-10 - sqrt(7))^2 + 20*sqrt(7)

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{1} = \frac{\sqrt{7}}{2} + 5 + \frac{\sqrt{-100 + 20 \sqrt{7} + \left(-10 - \sqrt{7}\right)^{2}}}{2}$$
Упростить
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{-100 + 20 \sqrt{7} + \left(-10 - \sqrt{7}\right)^{2}}}{2} + \frac{\sqrt{7}}{2} + 5$$
Упростить
$$x_{1} = \frac{\sqrt{7}}{2} + 5 + \frac{\sqrt{-100 + 20 \sqrt{7} + \left(-10 - \sqrt{7}\right)^{2}}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{-100 + 20 \sqrt{7} + \left(-10 - \sqrt{7}\right)^{2}}}{2} + \frac{\sqrt{7}}{2} + 5$$
$$x_{1} = \frac{\sqrt{7}}{2} + 5 + \frac{\sqrt{-100 + 20 \sqrt{7} + \left(-10 - \sqrt{7}\right)^{2}}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{-100 + 20 \sqrt{7} + \left(-10 - \sqrt{7}\right)^{2}}}{2} + \frac{\sqrt{7}}{2} + 5$$
Данные корни
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{-100 + 20 \sqrt{7} + \left(-10 - \sqrt{7}\right)^{2}}}{2} + \frac{\sqrt{7}}{2} + 5$$
$$x_{1} = \frac{\sqrt{7}}{2} + 5 + \frac{\sqrt{-100 + 20 \sqrt{7} + \left(-10 - \sqrt{7}\right)^{2}}}{2}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{2}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \left(- \frac{\sqrt{-100 + 20 \sqrt{7} + \left(-10 - \sqrt{7}\right)^{2}}}{2} + \frac{\sqrt{7}}{2} + 5\right)$$
=
$$- \frac{\sqrt{-100 + 20 \sqrt{7} + \left(-10 - \sqrt{7}\right)^{2}}}{2} + \frac{\sqrt{7}}{2} + \frac{49}{10}$$
подставляем в выражение
$$\left(x - 5\right)^{2} < \sqrt{7} \left(x + 5\right)$$
$$\left(\left(-1\right) 5 + \left(- \frac{\sqrt{-100 + 20 \sqrt{7} + \left(-10 - \sqrt{7}\right)^{2}}}{2} + \frac{\sqrt{7}}{2} + \frac{49}{10}\right)\right)^{2} < \sqrt{7} \left(\left(- \frac{\sqrt{-100 + 20 \sqrt{7} + \left(-10 - \sqrt{7}\right)^{2}}}{2} + \frac{\sqrt{7}}{2} + \frac{49}{10}\right) + 5\right)$$

                                                       2         /                 __________________________________\
/                   __________________________________\          |                /                     2            |
|                  /                     2            |          |       ___     /         /        ___\         ___ |
|         ___     /         /        ___\         ___ |  <   ___ |99   \/ 7    \/   -100 + \-10 - \/ 7 /  + 20*\/ 7  |
|  1    \/ 7    \/   -100 + \-10 - \/ 7 /  + 20*\/ 7  |    \/ 7 *|-- + ----- - --------------------------------------|
|- -- + ----- - --------------------------------------|          \10     2                       2                   /
\  10     2                       2                   /    

но

                                                       2         /                 __________________________________\
/                   __________________________________\          |                /                     2            |
|                  /                     2            |          |       ___     /         /        ___\         ___ |
|         ___     /         /        ___\         ___ |  >   ___ |99   \/ 7    \/   -100 + \-10 - \/ 7 /  + 20*\/ 7  |
|  1    \/ 7    \/   -100 + \-10 - \/ 7 /  + 20*\/ 7  |    \/ 7 *|-- + ----- - --------------------------------------|
|- -- + ----- - --------------------------------------|          \10     2                       2                   /
\  10     2                       2                   /    

Тогда
$$x < - \frac{\sqrt{-100 + 20 \sqrt{7} + \left(-10 - \sqrt{7}\right)^{2}}}{2} + \frac{\sqrt{7}}{2} + 5$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > - \frac{\sqrt{-100 + 20 \sqrt{7} + \left(-10 - \sqrt{7}\right)^{2}}}{2} + \frac{\sqrt{7}}{2} + 5 \wedge x < \frac{\sqrt{7}}{2} + 5 + \frac{\sqrt{-100 + 20 \sqrt{7} + \left(-10 - \sqrt{7}\right)^{2}}}{2}$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x_2      x_1

Быстрый ответ

   /                   ______________                 ______________    \
   |          ___     /          ___         ___     /          ___     |
   |        \/ 7    \/  7 + 40*\/ 7        \/ 7    \/  7 + 40*\/ 7      |
And|x < 5 + ----- + -----------------, 5 + ----- - ----------------- < x|
   \          2             2                2             2            /

$$x < \frac{\sqrt{7}}{2} + 5 + \frac{\sqrt{7 + 40 \sqrt{7}}}{2} \wedge - \frac{\sqrt{7 + 40 \sqrt{7}}}{2} + \frac{\sqrt{7}}{2} + 5 < x$$

Быстрый ответ 2

                ______________                 ______________ 
       ___     /          ___         ___     /          ___  
     \/ 7    \/  7 + 40*\/ 7        \/ 7    \/  7 + 40*\/ 7   
(5 + ----- - -----------------, 5 + ----- + -----------------)
       2             2                2             2         

$$x\ in\ \left(- \frac{\sqrt{7 + 40 \sqrt{7}}}{2} + \frac{\sqrt{7}}{2} + 5, \frac{\sqrt{7}}{2} + 5 + \frac{\sqrt{7 + 40 \sqrt{7}}}{2}\right)$$

График