(x+1)*(x-4)/(x^2+x-6)>0 (неравенство)

Укажите решение неравенства: (x+1)*(x-4)/(x^2+x-6)>0 (множество решений неравенства)

Вы ввели

(x + 1)*(x - 4)    
--------------- > 0
    2              
   x  + x - 6      

$$\frac{\left(x - 4\right) \left(x + 1\right)}{x^{2} + x - 6} > 0$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\frac{\left(x - 4\right) \left(x + 1\right)}{x^{2} + x - 6} > 0$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\frac{\left(x - 4\right) \left(x + 1\right)}{x^{2} + x - 6} = 0$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$\frac{\left(x - 4\right) \left(x + 1\right)}{x^{2} + x - 6} = 0$$
знаменатель
$$x^{2} + x - 6$$
тогда

x не равен -3

x не равен 2

Т.к. правая часть ур-ния равна нулю, то решение у ур-ния будет, если хотя бы один из множителей в левой части ур-ния равен нулю.
Получим ур-ния
$$x - 4 = 0$$
$$x + 1 = 0$$
решаем получившиеся ур-ния:
1.
$$x - 4 = 0$$
Переносим свободные слагаемые (без x)
из левой части в правую, получим:
$$x = 4$$
Получим ответ: x1 = 4
2.
$$x + 1 = 0$$
Переносим свободные слагаемые (без x)
из левой части в правую, получим:
$$x = -1$$
Получим ответ: x2 = -1
но

x не равен -3

x не равен 2

$$x_{1} = 4$$
$$x_{2} = -1$$
$$x_{1} = 4$$
$$x_{2} = -1$$
Данные корни
$$x_{2} = -1$$
$$x_{1} = 4$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{2}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{11}{10}$$
=
$$- \frac{11}{10}$$
подставляем в выражение
$$\frac{\left(x - 4\right) \left(x + 1\right)}{x^{2} + x - 6} > 0$$
$$\frac{\left(-4 - \frac{11}{10}\right) \left(- \frac{11}{10} + 1\right)}{-6 + - \frac{11}{10} + \left(- \frac{11}{10}\right)^{2}} > 0$$

-51     
---- > 0
589     

Тогда
$$x < -1$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > -1 \wedge x < 4$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x2      x1

Быстрый ответ

Or(And(-oo < x, x < -3), And(-1 < x, x < 2), And(4 < x, x < oo))

$$\left(-\infty < x \wedge x < -3\right) \vee \left(-1 < x \wedge x < 2\right) \vee \left(4 < x \wedge x < \infty\right)$$

Быстрый ответ 2

(-oo, -3) U (-1, 2) U (4, oo)

$$x \in \left(-\infty, -3\right) \cup \left(-1, 2\right) \cup \left(4, \infty\right)$$

График