Решение неравенств/ (x^2-6*x+8)*sqrt(x^2+10*x+9)<=0

(x^2-6*x+8)*sqrt(x^2+10*x+9)<=0 (неравенство)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

Примеры
В неравенстве неизвестная

    Укажите решение неравенства: (x^2-6*x+8)*sqrt(x^2+10*x+9)<=0 (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели [src]
                      _______________     
/ 2          \   /  2                 
\x  - 6*x + 8/*\/  x  + 10*x + 9  <= 0
    $$\sqrt{x^{2} + 10 x + 9} \left(x^{2} - 6 x + 8\right) \leq 0$$
    Подробное решение
    Дано неравенство:
    $$\sqrt{x^{2} + 10 x + 9} \left(x^{2} - 6 x + 8\right) \leq 0$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$\sqrt{x^{2} + 10 x + 9} \left(x^{2} - 6 x + 8\right) = 0$$
    Решаем:
    Дано уравнение:
    $$\sqrt{x^{2} + 10 x + 9} \left(x^{2} - 6 x + 8\right) = 0$$
    Т.к. правая часть ур-ния равна нулю, то решение у ур-ния будет, если хотя бы один из множителей в левой части ур-ния равен нулю.
    Получим ур-ния
    $$x^{2} - 6 x + 8 = 0$$
    $$x^{2} + 10 x + 9 = 0$$
    решаем получившиеся ур-ния:
    1.
    $$x^{2} - 6 x + 8 = 0$$
    Это уравнение вида
    a*x^2 + b*x + c = 0

    Квадратное уравнение можно решить
    с помощью дискриминанта.
    Корни квадратного уравнения:
    $$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
    $$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
    где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
    Т.к.
    $$a = 1$$
    $$b = -6$$
    $$c = 8$$
    , то
    D = b^2 - 4 * a * c = 

    (-6)^2 - 4 * (1) * (8) = 4

    Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
    x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

    x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

    или
    $$x_{1} = 4$$
    Упростить
    $$x_{2} = 2$$
    Упростить
    2.
    $$x^{2} + 10 x + 9 = 0$$
    Это уравнение вида
    a*x^2 + b*x + c = 0

    Квадратное уравнение можно решить
    с помощью дискриминанта.
    Корни квадратного уравнения:
    $$x_{3} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
    $$x_{4} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
    где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
    Т.к.
    $$a = 1$$
    $$b = 10$$
    $$c = 9$$
    , то
    D = b^2 - 4 * a * c = 

    (10)^2 - 4 * (1) * (9) = 64

    Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
    x3 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

    x4 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

    или
    $$x_{3} = -1$$
    Упростить
    $$x_{4} = -9$$
    Упростить
    $$x_{1} = 4$$
    $$x_{2} = 2$$
    $$x_{3} = -1$$
    $$x_{4} = -9$$
    $$x_{1} = 4$$
    $$x_{2} = 2$$
    $$x_{3} = -1$$
    $$x_{4} = -9$$
    Данные корни
    $$x_{4} = -9$$
    $$x_{3} = -1$$
    $$x_{2} = 2$$
    $$x_{1} = 4$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} \leq x_{4}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{4} - \frac{1}{10}$$
    =
    $$-9 - \frac{1}{10}$$
    =
    $$- \frac{91}{10}$$
    подставляем в выражение
    $$\sqrt{x^{2} + 10 x + 9} \left(x^{2} - 6 x + 8\right) \leq 0$$
    $$\left(8 - 6 \left(- \frac{91}{10}\right) + \left(- \frac{91}{10}\right)^{2}\right) \sqrt{10 \left(- \frac{91}{10}\right) + 9 + \left(- \frac{91}{10}\right)^{2}} \leq 0$$
    130869     
------ <= 0
 1000

    но
    130869     
------ >= 0
 1000

    Тогда
    $$x \leq -9$$
    не выполняется
    значит одно из решений нашего неравенства будет при:
    $$x \geq -9 \wedge x \leq -1$$
             _____           _____  
        /     \         /     \  
-------•-------•-------•-------•-------
       x4      x3      x2      x1

    Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
    и т.д.
    Ответ:
    $$x \geq -9 \wedge x \leq -1$$
    $$x \geq 2 \wedge x \leq 4$$
    Решение неравенства на графике
    Быстрый ответ [src]
    Or(And(2 <= x, x <= 4), x = -9, x = -1)
    $$\left(2 \leq x \wedge x \leq 4\right) \vee x = -9 \vee x = -1$$
    Быстрый ответ 2 [src]
    {-9, -1} U [2, 4]
    $$x\ in\ \left\{-9, -1\right\} \cup \left[2, 4\right]$$