Предел функции log(1 + x)/sin(x)

Вы ввели

     /log(1 + x)\
 lim |----------|
x->0+\  sin(x)  /

$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{\sin{\left(x \right)}}\right)$$

Быстрый ответ

1

$$1$$

Слева и справа

     /log(1 + x)\
 lim |----------|
x->0+\  sin(x)  /

$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{\sin{\left(x \right)}}\right)$$

1

$$1$$

= 1.0

     /log(1 + x)\
 lim |----------|
x->0-\  sin(x)  /

$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{\sin{\left(x \right)}}\right)$$

1

$$1$$

= 1.0

Численный ответ

1.0

Метод Лопиталя

У нас есть неопределённость типа

0/0,

т.к. для числителя предел
$$\lim_{x \to 0^+} \log{\left(x + 1 \right)} = 0$$
и для знаменателя предел
$$\lim_{x \to 0^+} \sin{\left(x \right)} = 0$$
Будем брать производные от числителя и знаминателя до тех пор, пока не избавимся от неопределённости.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{\sin{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \log{\left(x + 1 \right)}}{\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1}{\left(x + 1\right) \cos{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1}{\left(x + 1\right) \cos{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$1$$
Видно, что мы применили правило Лопиталя (взяли производную от числителя и знаменателя) 1 раз(а)

График