Предел функции (1 + 3/x)^(-x)

Вы ввели

            -x
     /    3\  
 lim |1 + -|  
x->oo\    x/  

$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{3}{x}\right)^{- x}$$

Подробное решение

Возьмём предел
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{3}{x}\right)^{- x}$$
преобразуем
сделаем замену
$$u = \frac{x}{3}$$
тогда
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{3}{x}\right)^{- x}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 3 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 3 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-3}$$
Предел
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
есть второй замечательный предел, он равен e ~ 2.718281828459045
тогда
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-3} = e^{-3}$$

Получаем окончательный ответ:
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{3}{x}\right)^{- x} = e^{-3}$$

Быстрый ответ

 -3
e  

$$e^{-3}$$

Другие пределы при x→0, -oo, +oo, 1

$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{3}{x}\right)^{- x} = e^{-3}$$
$$\lim_{x \to 0^-} \left(1 + \frac{3}{x}\right)^{- x} = 1$$
Подробнее при x→0 слева
$$\lim_{x \to 0^+} \left(1 + \frac{3}{x}\right)^{- x} = 1$$
Подробнее при x→0 справа
$$\lim_{x \to 1^-} \left(1 + \frac{3}{x}\right)^{- x} = \frac{1}{4}$$
Подробнее при x→1 слева
$$\lim_{x \to 1^+} \left(1 + \frac{3}{x}\right)^{- x} = \frac{1}{4}$$
Подробнее при x→1 справа
$$\lim_{x \to -\infty} \left(1 + \frac{3}{x}\right)^{- x} = e^{-3}$$
Подробнее при x→-oo

Метод Лопиталя

К данной функции нет смысла применять правило Лопиталя, т.к. нет неопределённости вида 0/0 или oo/oo

График