Предел функции ((1 + 3*x)/(3*x))^x

Вы ввели

              x
     /1 + 3*x\ 
 lim |-------| 
x->oo\  3*x  / 

$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x + 1}{3 x}\right)^{x}$$

Подробное решение

Возьмём предел
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x + 1}{3 x}\right)^{x}$$
преобразуем
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x + 1}{3 x}\right)^{x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x + 1}{3 x}\right)^{x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x}{3 x} + \frac{1}{3 x}\right)^{x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{3 x}\right)^{x}$$
=
сделаем замену
$$u = \frac{3 x}{1}$$
тогда
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{3 x}\right)^{x}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{u}{3}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{u}{3}}$$
=
$$\sqrt[3]{\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)}$$
Предел
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
есть второй замечательный предел, он равен e ~ 2.718281828459045
тогда
$$\sqrt[3]{\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)} = e^{\frac{1}{3}}$$

Получаем окончательный ответ:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x + 1}{3 x}\right)^{x} = e^{\frac{1}{3}}$$

Быстрый ответ

 1/3
e   

$$e^{\frac{1}{3}}$$

График