Предел функции (1 + x)^(6/x)

Подробное решение

Возьмём предел
$$\lim_{x \to 0^+} \left(x + 1\right)^{\frac{6}{x}}$$
преобразуем
сделаем замену
$$u = \frac{1}{x}$$
тогда
$$\lim_{x \to 0^+} \left(1 + \frac{1}{\frac{1}{x}}\right)^{\frac{6}{x}}$$ =
=
$$\lim_{u \to 0^+} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{6 u}$$
=
$$\lim_{u \to 0^+} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{6 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to 0^+} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{6}$$
Предел
$$\lim_{u \to 0^+} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
есть второй замечательный предел, он равен e ~ 2.718281828459045
тогда
$$\left(\left(\lim_{u \to 0^+} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{6} = e^{6}$$

Получаем окончательный ответ:
$$\lim_{x \to 0^+} \left(x + 1\right)^{\frac{6}{x}} = e^{6}$$

Слева и справа

            6
            -
            x
 lim (1 + x) 
x->0+        

$$\lim_{x \to 0^+} \left(x + 1\right)^{\frac{6}{x}}$$

 6
e 

$$e^{6}$$

= 403.428793492735

            6
            -
            x
 lim (1 + x) 
x->0-        

$$\lim_{x \to 0^-} \left(x + 1\right)^{\frac{6}{x}}$$

 6
e 

$$e^{6}$$

= 403.428793492735

Быстрый ответ

 6
e 

$$e^{6}$$

Другие пределы при x→0, -oo, +oo, 1

$$\lim_{x \to 0^-} \left(x + 1\right)^{\frac{6}{x}} = e^{6}$$
Подробнее при x→0 слева
$$\lim_{x \to 0^+} \left(x + 1\right)^{\frac{6}{x}} = e^{6}$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(x + 1\right)^{\frac{6}{x}} = 1$$
Подробнее при x→oo
$$\lim_{x \to 1^-} \left(x + 1\right)^{\frac{6}{x}} = 64$$
Подробнее при x→1 слева
$$\lim_{x \to 1^+} \left(x + 1\right)^{\frac{6}{x}} = 64$$
Подробнее при x→1 справа
$$\lim_{x \to -\infty} \left(x + 1\right)^{\frac{6}{x}} = 1$$
Подробнее при x→-oo

Численный ответ

403.428793492735

Метод Лопиталя

К данной функции нет смысла применять правило Лопиталя, т.к. нет неопределённости вида 0/0 или oo/oo

График