Предел функции sin(x)/(x + tan(x))

Вы ввели

     /  sin(x)  \
 lim |----------|
x->0+\x + tan(x)/

$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{x + \tan{\left(x \right)}}\right)$$

Слева и справа

     /  sin(x)  \
 lim |----------|
x->0+\x + tan(x)/

$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{x + \tan{\left(x \right)}}\right)$$

1/2

$$\frac{1}{2}$$

= 0.5

     /  sin(x)  \
 lim |----------|
x->0-\x + tan(x)/

$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{x + \tan{\left(x \right)}}\right)$$

1/2

$$\frac{1}{2}$$

= 0.5

Быстрый ответ

1/2

$$\frac{1}{2}$$

Численный ответ

0.5

Метод Лопиталя

У нас есть неопределённость типа

0/0,

т.к. для числителя предел
$$\lim_{x \to 0^+} \sin{\left(x \right)} = 0$$
и для знаменателя предел
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x + \tan{\left(x \right)}\right) = 0$$
Будем брать производные от числителя и знаминателя до тех пор, пока не избавимся от неопределённости.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{x + \tan{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)}}{\frac{d}{d x} \left(x + \tan{\left(x \right)}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{\tan^{2}{\left(x \right)} + 2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{\tan^{2}{\left(x \right)} + 2}\right)$$
=
$$\frac{1}{2}$$
Видно, что мы применили правило Лопиталя (взяли производную от числителя и знаменателя) 1 раз(а)

График