Предел функции (x/(-3+x))^x

Вы ввели

             x
     /  x   \ 
 lim |------| 
x->oo\-3 + x/ 

$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x - 3}\right)^{x}$$

Подробное решение

Возьмём предел
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x - 3}\right)^{x}$$
преобразуем
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x - 3}\right)^{x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(x - 3\right) + 3}{x - 3}\right)^{x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x - 3}{x - 3} + \frac{3}{x - 3}\right)^{x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{3}{x - 3}\right)^{x}$$
=
сделаем замену
$$u = \frac{x - 3}{3}$$
тогда
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{3}{x - 3}\right)^{x}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{3 u + 3}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{3} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{3 u}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{3} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{3 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{3 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{3}$$
Предел
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
есть второй замечательный предел, он равен e ~ 2.718281828459045
тогда
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{3} = e^{3}$$

Получаем окончательный ответ:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x - 3}\right)^{x} = e^{3}$$

Слева и справа

             x
     /  x   \ 
 lim |------| 
x->2+\-3 + x/ 

$$\lim_{x \to 2^+} \left(\frac{x}{x - 3}\right)^{x}$$

4

$$4$$

= (4.0 + 4.33094415228886e-24j)

             x
     /  x   \ 
 lim |------| 
x->2-\-3 + x/ 

$$\lim_{x \to 2^-} \left(\frac{x}{x - 3}\right)^{x}$$

4

$$4$$

= (4.0 - 1.59476694637762e-24j)

Быстрый ответ

 3
e 

$$e^{3}$$

Другие пределы при x→0, -oo, +oo, 1

$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x - 3}\right)^{x} = e^{3}$$
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{x}{x - 3}\right)^{x} = 1$$
Подробнее при x→0 слева
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{x}{x - 3}\right)^{x} = 1$$
Подробнее при x→0 справа
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{x}{x - 3}\right)^{x} = - \frac{1}{2}$$
Подробнее при x→1 слева
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{x}{x - 3}\right)^{x} = - \frac{1}{2}$$
Подробнее при x→1 справа
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{x}{x - 3}\right)^{x} = e^{3}$$
Подробнее при x→-oo

Численный ответ

(4.0 + 4.33094415228886e-24j)

Метод Лопиталя

К данной функции нет смысла применять правило Лопиталя, т.к. нет неопределённости вида 0/0 или oo/oo

График