Предел функции x/(3*sin(x))

Вы ввели

     /   x    \
 lim |--------|
x->0+\3*sin(x)/

$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x}{3 \sin{\left(x \right)}}\right)$$

Подробное решение

Возьмём предел
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x}{3 \sin{\left(x \right)}}\right)$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x}{3 \sin{\left(x \right)}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{u}{3 \sin{\left(u \right)}}\right)$$
=
$$\frac{\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{u}{\sin{\left(u \right)}}\right)}{3}$$
=
$$\frac{\left(\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)\right)^{-1}}{3}$$
Предел
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)$$
есть первый замечательный предел, он равен 1.

Тогда, окончательный ответ:
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x}{3 \sin{\left(x \right)}}\right) = \frac{1}{3}$$

Слева и справа

     /   x    \
 lim |--------|
x->0+\3*sin(x)/

$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x}{3 \sin{\left(x \right)}}\right)$$

1/3

$$\frac{1}{3}$$

= 0.333333333333333

     /   x    \
 lim |--------|
x->0-\3*sin(x)/

$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x}{3 \sin{\left(x \right)}}\right)$$

1/3

$$\frac{1}{3}$$

= 0.333333333333333

Быстрый ответ

1/3

$$\frac{1}{3}$$

Численный ответ

0.333333333333333

Метод Лопиталя

У нас есть неопределённость типа

0/0,

т.к. для числителя предел
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x}{3}\right) = 0$$
и для знаменателя предел
$$\lim_{x \to 0^+} \sin{\left(x \right)} = 0$$
Будем брать производные от числителя и знаминателя до тех пор, пока не избавимся от неопределённости.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x}{3 \sin{\left(x \right)}}\right)$$
=
Преобразуем немного функцию под знаком предела
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x}{3 \sin{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{x}{3}}{\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1}{3 \cos{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1}{3 \cos{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\frac{1}{3}$$
Видно, что мы применили правило Лопиталя (взяли производную от числителя и знаменателя) 1 раз(а)

График