Производная (2*cos(2*x)-2*sin(2*x))/(x^2)

Вы ввели

2*cos(2*x) - 2*sin(2*x)
-----------------------
            2          
           x           

$$\frac{- 2 \sin{\left(2 x \right)} + 2 \cos{\left(2 x \right)}}{x^{2}}$$

d /2*cos(2*x) - 2*sin(2*x)\
--|-----------------------|
dx|            2          |
  \           x           /

$$\frac{d}{d x} \frac{- 2 \sin{\left(2 x \right)} + 2 \cos{\left(2 x \right)}}{x^{2}}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = - 2 \sin{\left(2 x \right)} + 2 \cos{\left(2 x \right)}$ и $g{\left(x \right)} = x^{2}$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. дифференцируем $- 2 \sin{\left(2 x \right)} + 2 \cos{\left(2 x \right)}$ почленно:

      1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. Заменим $u = 2 x$.

         2. Производная синуса есть косинус:

            $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

         3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} 2 x$:

            1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

               1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

               Таким образом, в результате: $2$

            В результате последовательности правил:

            $2 \cos{\left(2 x \right)}$

         Таким образом, в результате: $- 4 \cos{\left(2 x \right)}$

      2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. Заменим $u = 2 x$.

         2. Производная косинус есть минус синус:

            $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

         3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} 2 x$:

            1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

               1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

               Таким образом, в результате: $2$

            В результате последовательности правил:

            $- 2 \sin{\left(2 x \right)}$

         Таким образом, в результате: $- 4 \sin{\left(2 x \right)}$

      В результате: $- 4 \sin{\left(2 x \right)} - 4 \cos{\left(2 x \right)}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. В силу правила, применим: $x^{2}$ получим $2 x$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{x^{2} \left(- 4 \sin{\left(2 x \right)} - 4 \cos{\left(2 x \right)}\right) - 2 x \left(- 2 \sin{\left(2 x \right)} + 2 \cos{\left(2 x \right)}\right)}{x^{4}}$

2. Теперь упростим:

   $- \frac{4 \sqrt{2} \left(x \sin{\left(2 x + \frac{\pi}{4} \right)} + \cos{\left(2 x + \frac{\pi}{4} \right)}\right)}{x^{3}}$

---

Ответ:

$- \frac{4 \sqrt{2} \left(x \sin{\left(2 x + \frac{\pi}{4} \right)} + \cos{\left(2 x + \frac{\pi}{4} \right)}\right)}{x^{3}}$

Первая производная

-4*cos(2*x) - 4*sin(2*x)   2*(2*cos(2*x) - 2*sin(2*x))
------------------------ - ---------------------------
            2                            3            
           x                            x             

$$\frac{- 4 \sin{\left(2 x \right)} - 4 \cos{\left(2 x \right)}}{x^{2}} - \frac{2 \left(- 2 \sin{\left(2 x \right)} + 2 \cos{\left(2 x \right)}\right)}{x^{3}}$$

Вторая производная

  /                           3*(-cos(2*x) + sin(2*x))   4*(cos(2*x) + sin(2*x))\
4*|-2*cos(2*x) + 2*sin(2*x) - ------------------------ + -----------------------|
  |                                       2                         x           |
  \                                      x                                      /
---------------------------------------------------------------------------------
                                         2                                       
                                        x                                        

$$\frac{4 \cdot \left(2 \sin{\left(2 x \right)} - 2 \cos{\left(2 x \right)} + \frac{4 \left(\sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}\right)}{x} - \frac{3 \left(\sin{\left(2 x \right)} - \cos{\left(2 x \right)}\right)}{x^{2}}\right)}{x^{2}}$$

Третья производная

  /                          9*(cos(2*x) + sin(2*x))   6*(-cos(2*x) + sin(2*x))   6*(-cos(2*x) + sin(2*x))\
8*|2*cos(2*x) + 2*sin(2*x) - ----------------------- - ------------------------ + ------------------------|
  |                                      2                        x                           3           |
  \                                     x                                                    x            /
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                      2                                                    
                                                     x                                                     

$$\frac{8 \cdot \left(2 \sin{\left(2 x \right)} + 2 \cos{\left(2 x \right)} - \frac{6 \left(\sin{\left(2 x \right)} - \cos{\left(2 x \right)}\right)}{x} - \frac{9 \left(\sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}\right)}{x^{2}} + \frac{6 \left(\sin{\left(2 x \right)} - \cos{\left(2 x \right)}\right)}{x^{3}}\right)}{x^{2}}$$

График