Производная 2*log(cot(t))

Вы ввели

2*log(cot(t))

$$2 \log{\left (\cot{\left (t \right )} \right )}$$

Подробное решение

1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

   1. Заменим $u = \cot{\left (t \right )}$.

   2. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d t} \cot{\left (t \right )}$:

      1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

         Один из способов:

         1. $\frac{d}{d t} \cot{\left (t \right )} = - \frac{1}{\sin^{2}{\left (t \right )}}$

      В результате последовательности правил:

      $- \frac{\sin^{2}{\left (t \right )} + \cos^{2}{\left (t \right )}}{\cos^{2}{\left (t \right )} \tan^{2}{\left (t \right )} \cot{\left (t \right )}}$

   Таким образом, в результате: $- \frac{2 \sin^{2}{\left (t \right )} + 2 \cos^{2}{\left (t \right )}}{\cos^{2}{\left (t \right )} \tan^{2}{\left (t \right )} \cot{\left (t \right )}}$

2. Теперь упростим:

   $- \frac{4}{\sin{\left (2 t \right )}}$

---

Ответ:

$- \frac{4}{\sin{\left (2 t \right )}}$

Первая производная

  /        2   \
2*\-1 - cot (t)/
----------------
     cot(t)     

$$\frac{- 2 \cot^{2}{\left (t \right )} - 2}{\cot{\left (t \right )}}$$

Вторая производная

  /                             2\
  |                /       2   \ |
  |         2      \1 + cot (t)/ |
2*|2 + 2*cot (t) - --------------|
  |                      2       |
  \                   cot (t)    /

$$2 \left(- \frac{\left(\cot^{2}{\left (t \right )} + 1\right)^{2}}{\cot^{2}{\left (t \right )}} + 2 \cot^{2}{\left (t \right )} + 2\right)$$

Третья производная

                /                         2                  \
                |            /       2   \      /       2   \|
  /       2   \ |            \1 + cot (t)/    2*\1 + cot (t)/|
4*\1 + cot (t)/*|-2*cot(t) - -------------- + ---------------|
                |                  3               cot(t)    |
                \               cot (t)                      /

$$4 \left(\cot^{2}{\left (t \right )} + 1\right) \left(- \frac{\left(\cot^{2}{\left (t \right )} + 1\right)^{2}}{\cot^{3}{\left (t \right )}} + \frac{2 \cot^{2}{\left (t \right )} + 2}{\cot{\left (t \right )}} - 2 \cot{\left (t \right )}\right)$$