Производная e^cot(x)+2

Вы ввели

 cot(x)    
E       + 2

$$e^{\cot{\left (x \right )}} + 2$$

Подробное решение

1. дифференцируем $e^{\cot{\left (x \right )}} + 2$ почленно:

   1. Заменим $u = \cot{\left (x \right )}$.

   2. Производная $e^{u}$ само оно.

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \cot{\left (x \right )}$:

      1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

         Один из способов:

         1. $\frac{d}{d x} \cot{\left (x \right )} = - \frac{1}{\sin^{2}{\left (x \right )}}$

      В результате последовательности правил:

      $- \frac{\left(\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}\right) e^{\cot{\left (x \right )}}}{\cos^{2}{\left (x \right )} \tan^{2}{\left (x \right )}}$

   4. Производная постоянной $2$ равна нулю.

   В результате: $- \frac{\left(\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}\right) e^{\cot{\left (x \right )}}}{\cos^{2}{\left (x \right )} \tan^{2}{\left (x \right )}}$

2. Теперь упростим:

   $- \frac{e^{\frac{1}{\tan{\left (x \right )}}}}{\sin^{2}{\left (x \right )}}$

---

Ответ:

$- \frac{e^{\frac{1}{\tan{\left (x \right )}}}}{\sin^{2}{\left (x \right )}}$

Первая производная

/        2   \  cot(x)
\-1 - cot (x)/*e      

$$\left(- \cot^{2}{\left (x \right )} - 1\right) e^{\cot{\left (x \right )}}$$

Вторая производная

/       2   \ /       2              \  cot(x)
\1 + cot (x)/*\1 + cot (x) + 2*cot(x)/*e      

$$\left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 2 \cot{\left (x \right )} + 1\right) e^{\cot{\left (x \right )}}$$

Третья производная

               /                 2                                     \        
 /       2   \ |    /       2   \         2        /       2   \       |  cot(x)
-\1 + cot (x)/*\2 + \1 + cot (x)/  + 6*cot (x) + 6*\1 + cot (x)/*cot(x)/*e      

$$- \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \left(\left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{2} + 6 \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \cot{\left (x \right )} + 6 \cot^{2}{\left (x \right )} + 2\right) e^{\cot{\left (x \right )}}$$