Производная log(cot(x)^2+2)

Вы ввели

   /   2       \
log\cot (x) + 2/

$$\log{\left (\cot^{2}{\left (x \right )} + 2 \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \cot^{2}{\left (x \right )} + 2$.

2. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 2\right)$:

   1. дифференцируем $\cot^{2}{\left (x \right )} + 2$ почленно:

      1. Заменим $u = \cot{\left (x \right )}$.

      2. В силу правила, применим: $u^{2}$ получим $2 u$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \cot{\left (x \right )}$:

         1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

            Один из способов:

            1. $\frac{d}{d x} \cot{\left (x \right )} = - \frac{1}{\sin^{2}{\left (x \right )}}$

         В результате последовательности правил:

         $- \frac{2 \left(\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}\right) \cot{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )} \tan^{2}{\left (x \right )}}$

      4. Производная постоянной $2$ равна нулю.

      В результате: $- \frac{2 \left(\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}\right) \cot{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )} \tan^{2}{\left (x \right )}}$

   В результате последовательности правил:

   $- \frac{2 \left(\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}\right) \cot{\left (x \right )}}{\left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 2\right) \cos^{2}{\left (x \right )} \tan^{2}{\left (x \right )}}$

4. Теперь упростим:

   $- \frac{2 \cos{\left (x \right )}}{\sin^{3}{\left (x \right )} + \sin{\left (x \right )}}$

---

Ответ:

$- \frac{2 \cos{\left (x \right )}}{\sin^{3}{\left (x \right )} + \sin{\left (x \right )}}$

Первая производная

/          2   \       
\-2 - 2*cot (x)/*cot(x)
-----------------------
         2             
      cot (x) + 2      

$$\frac{\left(- 2 \cot^{2}{\left (x \right )} - 2\right) \cot{\left (x \right )}}{\cot^{2}{\left (x \right )} + 2}$$

Вторая производная

                /                     2    /       2   \\
  /       2   \ |         2      2*cot (x)*\1 + cot (x)/|
2*\1 + cot (x)/*|1 + 3*cot (x) - -----------------------|
                |                             2         |
                \                      2 + cot (x)      /
---------------------------------------------------------
                              2                          
                       2 + cot (x)                       

$$\frac{2}{\cot^{2}{\left (x \right )} + 2} \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \left(- \frac{2 \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \cot^{2}{\left (x \right )}}{\cot^{2}{\left (x \right )} + 2} + 3 \cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right)$$

Третья производная

                /                                2                  2                                  \       
                |                   /       2   \      /       2   \     2           2    /       2   \|       
  /       2   \ |          2      3*\1 + cot (x)/    4*\1 + cot (x)/ *cot (x)   6*cot (x)*\1 + cot (x)/|       
4*\1 + cot (x)/*|-4 - 6*cot (x) + ---------------- - ------------------------ + -----------------------|*cot(x)
                |                          2                           2                     2         |       
                |                   2 + cot (x)           /       2   \               2 + cot (x)      |       
                \                                         \2 + cot (x)/                                /       
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                         2                                                     
                                                  2 + cot (x)                                                  

$$\frac{4 \cot{\left (x \right )}}{\cot^{2}{\left (x \right )} + 2} \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \left(\frac{3 \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{2}}{\cot^{2}{\left (x \right )} + 2} - \frac{4 \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{2} \cot^{2}{\left (x \right )}}{\left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 2\right)^{2}} + \frac{6 \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \cot^{2}{\left (x \right )}}{\cot^{2}{\left (x \right )} + 2} - 6 \cot^{2}{\left (x \right )} - 4\right)$$