Производная e^(x/log(x))

Вы ввели

   x   
 ------
 log(x)
E      

$$e^{\frac{x}{\log{\left (x \right )}}}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \frac{x}{\log{\left (x \right )}}$.

2. Производная $e^{u}$ само оно.

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(\frac{x}{\log{\left (x \right )}}\right)$:

   1. Применим правило производной частного:

      $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

      $f{\left (x \right )} = x$ и $g{\left (x \right )} = \log{\left (x \right )}$.

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

      1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

      1. Производная $\log{\left (x \right )}$ является $\frac{1}{x}$.

      Теперь применим правило производной деления:

      $\frac{\log{\left (x \right )} - 1}{\log^{2}{\left (x \right )}}$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{e^{\frac{x}{\log{\left (x \right )}}}}{\log^{2}{\left (x \right )}} \left(\log{\left (x \right )} - 1\right)$

---

Ответ:

$\frac{e^{\frac{x}{\log{\left (x \right )}}}}{\log^{2}{\left (x \right )}} \left(\log{\left (x \right )} - 1\right)$

Первая производная

                      x   
                    ------
/  1         1   \  log(x)
|------ - -------|*e      
|log(x)      2   |        
\         log (x)/        

$$\left(\frac{1}{\log{\left (x \right )}} - \frac{1}{\log^{2}{\left (x \right )}}\right) e^{\frac{x}{\log{\left (x \right )}}}$$

Вторая производная

/                      2   \    x   
|            2   1 - ------|  ------
|/      1   \        log(x)|  log(x)
||1 - ------|  - ----------|*e      
\\    log(x)/        x     /        
------------------------------------
                 2                  
              log (x)               

$$\frac{e^{\frac{x}{\log{\left (x \right )}}}}{\log^{2}{\left (x \right )}} \left(\left(1 - \frac{1}{\log{\left (x \right )}}\right)^{2} - \frac{1}{x} \left(1 - \frac{2}{\log{\left (x \right )}}\right)\right)$$

Третья производная

/       6                  3                              \        
|1 - -------   /      1   \      /      1   \ /      2   \|    x   
|       2      |1 - ------|    3*|1 - ------|*|1 - ------||  ------
|    log (x)   \    log(x)/      \    log(x)/ \    log(x)/|  log(x)
|----------- + ------------- - ---------------------------|*e      
|      2           log(x)                x*log(x)         |        
\     x                                                   /        
-------------------------------------------------------------------
                                 2                                 
                              log (x)                              

$$\frac{e^{\frac{x}{\log{\left (x \right )}}}}{\log^{2}{\left (x \right )}} \left(\frac{\left(1 - \frac{1}{\log{\left (x \right )}}\right)^{3}}{\log{\left (x \right )}} - \frac{3}{x \log{\left (x \right )}} \left(1 - \frac{2}{\log{\left (x \right )}}\right) \left(1 - \frac{1}{\log{\left (x \right )}}\right) + \frac{1}{x^{2}} \left(1 - \frac{6}{\log^{2}{\left (x \right )}}\right)\right)$$