Производная cos(sin(x^2))

Вы ввели

   /   / 2\\
cos\sin\x //

$$\cos{\left (\sin{\left (x^{2} \right )} \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \sin{\left (x^{2} \right )}$.

2. Производная косинус есть минус синус:

   $\frac{d}{d u} \cos{\left (u \right )} = - \sin{\left (u \right )}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sin{\left (x^{2} \right )}$:

   1. Заменим $u = x^{2}$.

   2. Производная синуса есть косинус:

      $\frac{d}{d u} \sin{\left (u \right )} = \cos{\left (u \right )}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} x^{2}$:

      1. В силу правила, применим: $x^{2}$ получим $2 x$

      В результате последовательности правил:

      $2 x \cos{\left (x^{2} \right )}$

   В результате последовательности правил:

   $- 2 x \sin{\left (\sin{\left (x^{2} \right )} \right )} \cos{\left (x^{2} \right )}$

---

Ответ:

$- 2 x \sin{\left (\sin{\left (x^{2} \right )} \right )} \cos{\left (x^{2} \right )}$

Первая производная

        / 2\    /   / 2\\
-2*x*cos\x /*sin\sin\x //

$$- 2 x \sin{\left (\sin{\left (x^{2} \right )} \right )} \cos{\left (x^{2} \right )}$$

Вторая производная

  /     / 2\    /   / 2\\      2    2/ 2\    /   / 2\\      2    / 2\    /   / 2\\\
2*\- cos\x /*sin\sin\x // - 2*x *cos \x /*cos\sin\x // + 2*x *sin\x /*sin\sin\x ///

$$2 \left(2 x^{2} \sin{\left (x^{2} \right )} \sin{\left (\sin{\left (x^{2} \right )} \right )} - 2 x^{2} \cos^{2}{\left (x^{2} \right )} \cos{\left (\sin{\left (x^{2} \right )} \right )} - \sin{\left (\sin{\left (x^{2} \right )} \right )} \cos{\left (x^{2} \right )}\right)$$

Третья производная

    /       2/ 2\    /   / 2\\        / 2\    /   / 2\\      2    3/ 2\    /   / 2\\      2    / 2\    /   / 2\\      2    / 2\    /   / 2\\    / 2\\
4*x*\- 3*cos \x /*cos\sin\x // + 3*sin\x /*sin\sin\x // + 2*x *cos \x /*sin\sin\x // + 2*x *cos\x /*sin\sin\x // + 6*x *cos\x /*cos\sin\x //*sin\x //

$$4 x \left(6 x^{2} \sin{\left (x^{2} \right )} \cos{\left (x^{2} \right )} \cos{\left (\sin{\left (x^{2} \right )} \right )} + 2 x^{2} \sin{\left (\sin{\left (x^{2} \right )} \right )} \cos^{3}{\left (x^{2} \right )} + 2 x^{2} \sin{\left (\sin{\left (x^{2} \right )} \right )} \cos{\left (x^{2} \right )} + 3 \sin{\left (x^{2} \right )} \sin{\left (\sin{\left (x^{2} \right )} \right )} - 3 \cos^{2}{\left (x^{2} \right )} \cos{\left (\sin{\left (x^{2} \right )} \right )}\right)$$