Производная cot(x)-log(x)

Вы ввели

cot(x) - log(x)

$$- \log{\left(x \right)} + \cot{\left(x \right)}$$

d                  
--(cot(x) - log(x))
dx                 

$$\frac{d}{d x} \left(- \log{\left(x \right)} + \cot{\left(x \right)}\right)$$

Подробное решение

1. дифференцируем $- \log{\left(x \right)} + \cot{\left(x \right)}$ почленно:

   1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

      Method #1

      1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:

         $\cot{\left(x \right)} = \frac{1}{\tan{\left(x \right)}}$

      2. Заменим $u = \tan{\left(x \right)}$.

      3. В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$

      4. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \tan{\left(x \right)}$:

         1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:

            $\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$

         2. Применим правило производной частного:

            $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

            $f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$.

            Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

            1. Производная синуса есть косинус:

               $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

            Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

            1. Производная косинус есть минус синус:

               $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

            Теперь применим правило производной деления:

            $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

         В результате последовательности правил:

         $- \frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}}$

      Method #2

      1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:

         $\cot{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}$

      2. Применим правило производной частного:

         $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

         $f{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$.

         Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

         1. Производная косинус есть минус синус:

            $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

         Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

         1. Производная синуса есть косинус:

            $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

         Теперь применим правило производной деления:

         $\frac{- \sin^{2}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$

   2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

      1. Производная $\log{\left(x \right)}$ является $\frac{1}{x}$.

      Таким образом, в результате: $- \frac{1}{x}$

   В результате: $- \frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}} - \frac{1}{x}$

2. Теперь упростим:

   $- \frac{\frac{x}{\sin^{2}{\left(x \right)}} + 1}{x}$

---

Ответ:

$- \frac{\frac{x}{\sin^{2}{\left(x \right)}} + 1}{x}$

Первая производная

     1      2   
-1 - - - cot (x)
     x          

$$- \cot^{2}{\left(x \right)} - 1 - \frac{1}{x}$$

Вторая производная

1      /       2   \       
-- + 2*\1 + cot (x)/*cot(x)
 2                         
x                          

$$2 \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cot{\left(x \right)} + \frac{1}{x^{2}}$$

Третья производная

   /                  2                          \
   |1    /       2   \         2    /       2   \|
-2*|-- + \1 + cot (x)/  + 2*cot (x)*\1 + cot (x)/|
   | 3                                           |
   \x                                            /

$$- 2 \left(\left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2} + 2 \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cot^{2}{\left(x \right)} + \frac{1}{x^{3}}\right)$$

График