Производная sqrt(8+cos(x))

Вы ввели

  ____________
\/ 8 + cos(x) 

$$\sqrt{\cos{\left (x \right )} + 8}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \cos{\left (x \right )} + 8$.

2. В силу правила, применим: $\sqrt{u}$ получим $\frac{1}{2 \sqrt{u}}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(\cos{\left (x \right )} + 8\right)$:

   1. дифференцируем $\cos{\left (x \right )} + 8$ почленно:

      1. Производная постоянной $8$ равна нулю.

      2. Производная косинус есть минус синус:

         $\frac{d}{d x} \cos{\left (x \right )} = - \sin{\left (x \right )}$

      В результате: $- \sin{\left (x \right )}$

   В результате последовательности правил:

   $- \frac{\sin{\left (x \right )}}{2 \sqrt{\cos{\left (x \right )} + 8}}$

---

Ответ:

$- \frac{\sin{\left (x \right )}}{2 \sqrt{\cos{\left (x \right )} + 8}}$

Первая производная

    -sin(x)     
----------------
    ____________
2*\/ 8 + cos(x) 

$$- \frac{\sin{\left (x \right )}}{2 \sqrt{\cos{\left (x \right )} + 8}}$$

Вторая производная

 /               2     \ 
 |            sin (x)  | 
-|2*cos(x) + ----------| 
 \           8 + cos(x)/ 
-------------------------
         ____________    
     4*\/ 8 + cos(x)     

$$- \frac{1}{4 \sqrt{\cos{\left (x \right )} + 8}} \left(2 \cos{\left (x \right )} + \frac{\sin^{2}{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )} + 8}\right)$$

Третья производная

/                        2     \       
|     6*cos(x)      3*sin (x)  |       
|4 - ---------- - -------------|*sin(x)
|    8 + cos(x)               2|       
\                 (8 + cos(x)) /       
---------------------------------------
                ____________           
            8*\/ 8 + cos(x)            

$$\frac{\sin{\left (x \right )}}{8 \sqrt{\cos{\left (x \right )} + 8}} \left(4 - \frac{6 \cos{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )} + 8} - \frac{3 \sin^{2}{\left (x \right )}}{\left(\cos{\left (x \right )} + 8\right)^{2}}\right)$$