Производная sqrt(x^3+243/x)

Вы ввели

    __________
   /  3   243 
  /  x  + --- 
\/         x  

$$\sqrt{x^{3} + \frac{243}{x}}$$

  /    __________\
d |   /  3   243 |
--|  /  x  + --- |
dx\\/         x  /

$$\frac{d}{d x} \sqrt{x^{3} + \frac{243}{x}}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = x^{3} + \frac{243}{x}$.

2. В силу правила, применим: $\sqrt{u}$ получим $\frac{1}{2 \sqrt{u}}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \left(x^{3} + \frac{243}{x}\right)$:

   1. дифференцируем $x^{3} + \frac{243}{x}$ почленно:

      1. В силу правила, применим: $x^{3}$ получим $3 x^{2}$

      2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $\frac{1}{x}$ получим $- \frac{1}{x^{2}}$

         Таким образом, в результате: $- \frac{243}{x^{2}}$

      В результате: $3 x^{2} - \frac{243}{x^{2}}$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{3 x^{2} - \frac{243}{x^{2}}}{2 \sqrt{x^{3} + \frac{243}{x}}}$

4. Теперь упростим:

   $\frac{3 \left(x^{4} - 81\right)}{2 x^{2} \sqrt{x^{4} + 243} \sqrt{\frac{1}{x}}}$

---

Ответ:

$\frac{3 \left(x^{4} - 81\right)}{2 x^{2} \sqrt{x^{4} + 243} \sqrt{\frac{1}{x}}}$

Первая производная

            2 
  243    3*x  
- ---- + ---- 
     2    2   
  2*x         
--------------
    __________
   /  3   243 
  /  x  + --- 
\/         x  

$$\frac{\frac{3 x^{2}}{2} - \frac{243}{2 x^{2}}}{\sqrt{x^{3} + \frac{243}{x}}}$$

Вторая производная

  /                    2\
  |           / 2   81\ |
  |         3*|x  - --| |
  |           |      2| |
  |    81     \     x / |
3*|x + -- - ------------|
  |     3     / 3   243\|
  |    x    4*|x  + ---||
  \           \      x //
-------------------------
          __________     
         /  3   243      
        /  x  + ---      
      \/         x       

$$\frac{3 \left(x - \frac{3 \left(x^{2} - \frac{81}{x^{2}}\right)^{2}}{4 \left(x^{3} + \frac{243}{x}\right)} + \frac{81}{x^{3}}\right)}{\sqrt{x^{3} + \frac{243}{x}}}$$

Третья производная

  /                      3                       \
  |             / 2   81\      /    81\ / 2   81\|
  |          27*|x  - --|    9*|x + --|*|x  - --||
  |             |      2|      |     3| |      2||
  |    243      \     x /      \    x / \     x /|
3*|1 - --- + ------------- - --------------------|
  |      4               2         / 3   243\    |
  |     x      / 3   243\        2*|x  + ---|    |
  |          8*|x  + ---|          \      x /    |
  \            \      x /                        /
--------------------------------------------------
                      __________                  
                     /  3   243                   
                    /  x  + ---                   
                  \/         x                    

$$\frac{3 \left(- \frac{9 \left(x + \frac{81}{x^{3}}\right) \left(x^{2} - \frac{81}{x^{2}}\right)}{2 \left(x^{3} + \frac{243}{x}\right)} + \frac{27 \left(x^{2} - \frac{81}{x^{2}}\right)^{3}}{8 \left(x^{3} + \frac{243}{x}\right)^{2}} + 1 - \frac{243}{x^{4}}\right)}{\sqrt{x^{3} + \frac{243}{x}}}$$

График