Производная log(cos(x^4))

Вы ввели

   /   / 4\\
log\cos\x //

$$\log{\left (\cos{\left (x^{4} \right )} \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \cos{\left (x^{4} \right )}$.

2. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \cos{\left (x^{4} \right )}$:

   1. Заменим $u = x^{4}$.

   2. Производная косинус есть минус синус:

      $\frac{d}{d u} \cos{\left (u \right )} = - \sin{\left (u \right )}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} x^{4}$:

      1. В силу правила, применим: $x^{4}$ получим $4 x^{3}$

      В результате последовательности правил:

      $- 4 x^{3} \sin{\left (x^{4} \right )}$

   В результате последовательности правил:

   $- \frac{4 x^{3} \sin{\left (x^{4} \right )}}{\cos{\left (x^{4} \right )}}$

4. Теперь упростим:

   $- 4 x^{3} \tan{\left (x^{4} \right )}$

---

Ответ:

$- 4 x^{3} \tan{\left (x^{4} \right )}$

Первая производная

    3    / 4\
-4*x *sin\x /
-------------
      / 4\   
   cos\x /   

$$- \frac{4 x^{3} \sin{\left (x^{4} \right )}}{\cos{\left (x^{4} \right )}}$$

Вторая производная

      /            / 4\      4    2/ 4\\
    2 |   4   3*sin\x /   4*x *sin \x /|
-4*x *|4*x  + --------- + -------------|
      |           / 4\          2/ 4\  |
      \        cos\x /       cos \x /  /

$$- 4 x^{2} \left(\frac{4 x^{4} \sin^{2}{\left (x^{4} \right )}}{\cos^{2}{\left (x^{4} \right )}} + 4 x^{4} + \frac{3 \sin{\left (x^{4} \right )}}{\cos{\left (x^{4} \right )}}\right)$$

Третья производная

     /             / 4\       8    / 4\       8    3/ 4\       4    2/ 4\\
     |    4   3*sin\x /   16*x *sin\x /   16*x *sin \x /   18*x *sin \x /|
-8*x*|18*x  + --------- + ------------- + -------------- + --------------|
     |            / 4\          / 4\            3/ 4\            2/ 4\   |
     \         cos\x /       cos\x /         cos \x /         cos \x /   /

$$- 8 x \left(\frac{16 x^{8} \sin^{3}{\left (x^{4} \right )}}{\cos^{3}{\left (x^{4} \right )}} + \frac{16 x^{8} \sin{\left (x^{4} \right )}}{\cos{\left (x^{4} \right )}} + \frac{18 x^{4} \sin^{2}{\left (x^{4} \right )}}{\cos^{2}{\left (x^{4} \right )}} + 18 x^{4} + \frac{3 \sin{\left (x^{4} \right )}}{\cos{\left (x^{4} \right )}}\right)$$