Производная log(tan(x^2))

Вы ввели

   /   / 2\\
log\tan\x //

$$\log{\left (\tan{\left (x^{2} \right )} \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \tan{\left (x^{2} \right )}$.

2. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \tan{\left (x^{2} \right )}$:

   1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

      Один из способов:

      1. Заменим $u = x^{2}$.

      2. $\frac{d}{d u} \tan{\left (u \right )} = \frac{1}{\cos^{2}{\left (u \right )}}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} x^{2}$:

         1. В силу правила, применим: $x^{2}$ получим $2 x$

         В результате последовательности правил:

         $\frac{2 x}{\cos^{2}{\left (x^{2} \right )}}$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{2 x \sin^{2}{\left (x^{2} \right )} + 2 x \cos^{2}{\left (x^{2} \right )}}{\cos^{2}{\left (x^{2} \right )} \tan{\left (x^{2} \right )}}$

4. Теперь упростим:

   $\frac{4 x}{\sin{\left (2 x^{2} \right )}}$

---

Ответ:

$\frac{4 x}{\sin{\left (2 x^{2} \right )}}$

Первая производная

    /       2/ 2\\
2*x*\1 + tan \x //
------------------
        / 2\      
     tan\x /      

$$\frac{2 x \left(\tan^{2}{\left (x^{2} \right )} + 1\right)}{\tan{\left (x^{2} \right )}}$$

Вторая производная

                 /                    2 /       2/ 2\\\
  /       2/ 2\\ |   1         2   2*x *\1 + tan \x //|
2*\1 + tan \x //*|------- + 4*x  - -------------------|
                 |   / 2\                   2/ 2\     |
                 \tan\x /                tan \x /     /

$$2 \left(\tan^{2}{\left (x^{2} \right )} + 1\right) \left(- \frac{2 x^{2} \left(\tan^{2}{\left (x^{2} \right )} + 1\right)}{\tan^{2}{\left (x^{2} \right )}} + 4 x^{2} + \frac{1}{\tan{\left (x^{2} \right )}}\right)$$

Третья производная

                   /                                                                               2\
                   |      /       2/ 2\\                     2 /       2/ 2\\      2 /       2/ 2\\ |
    /       2/ 2\\ |    3*\1 + tan \x //      2    / 2\   8*x *\1 + tan \x //   4*x *\1 + tan \x // |
4*x*\1 + tan \x //*|6 - ---------------- + 8*x *tan\x / - ------------------- + --------------------|
                   |           2/ 2\                               / 2\                  3/ 2\      |
                   \        tan \x /                            tan\x /               tan \x /      /

$$4 x \left(\tan^{2}{\left (x^{2} \right )} + 1\right) \left(\frac{4 x^{2} \left(\tan^{2}{\left (x^{2} \right )} + 1\right)^{2}}{\tan^{3}{\left (x^{2} \right )}} - \frac{8 x^{2} \left(\tan^{2}{\left (x^{2} \right )} + 1\right)}{\tan{\left (x^{2} \right )}} + 8 x^{2} \tan{\left (x^{2} \right )} - \frac{3 \tan^{2}{\left (x^{2} \right )} + 3}{\tan^{2}{\left (x^{2} \right )}} + 6\right)$$