Производная log(x+e^x)

Вы ввели

   /     x\
log\x + E /

$$\log{\left (e^{x} + x \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = e^{x} + x$.

2. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(e^{x} + x\right)$:

   1. дифференцируем $e^{x} + x$ почленно:

      1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

      2. Производная $e^{x}$ само оно.

      В результате: $e^{x} + 1$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x}$

4. Теперь упростим:

   $\frac{e^{x} + 1}{x + e^{x}}$

---

Ответ:

$\frac{e^{x} + 1}{x + e^{x}}$

Первая производная

     x
1 + E 
------
     x
x + E 

$$\frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x}$$

Вторая производная

          2     
  /     x\      
  \1 + e /     x
- --------- + e 
         x      
    x + e       
----------------
          x     
     x + e      

$$\frac{1}{x + e^{x}} \left(e^{x} - \frac{\left(e^{x} + 1\right)^{2}}{x + e^{x}}\right)$$

Третья производная

          3                     
  /     x\      /     x\  x     
2*\1 + e /    3*\1 + e /*e     x
----------- - ------------- + e 
         2             x        
 /     x\         x + e         
 \x + e /                       
--------------------------------
                  x             
             x + e              

$$\frac{1}{x + e^{x}} \left(e^{x} - \frac{3 \left(e^{x} + 1\right) e^{x}}{x + e^{x}} + \frac{2 \left(e^{x} + 1\right)^{3}}{\left(x + e^{x}\right)^{2}}\right)$$