Производная log(x+sqrt(x))

Вы ввели

   /      ___\
log\x + \/ x /

$$\log{\left (\sqrt{x} + x \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \sqrt{x} + x$.

2. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(\sqrt{x} + x\right)$:

   1. дифференцируем $\sqrt{x} + x$ почленно:

      1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

      2. В силу правила, применим: $\sqrt{x}$ получим $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$

      В результате: $1 + \frac{1}{2 \sqrt{x}}$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{1 + \frac{1}{2 \sqrt{x}}}{\sqrt{x} + x}$

4. Теперь упростим:

   $\frac{\sqrt{x} + \frac{1}{2}}{x^{\frac{3}{2}} + x}$

---

Ответ:

$\frac{\sqrt{x} + \frac{1}{2}}{x^{\frac{3}{2}} + x}$

Первая производная

       1   
1 + -------
        ___
    2*\/ x 
-----------
       ___ 
 x + \/ x  

$$\frac{1 + \frac{1}{2 \sqrt{x}}}{\sqrt{x} + x}$$

Вторая производная

 /                  2\ 
 |       /      1  \ | 
 |       |2 + -----| | 
 |       |      ___| | 
 | 1     \    \/ x / | 
-|---- + ------------| 
 | 3/2          ___  | 
 \x       x + \/ x   / 
-----------------------
       /      ___\     
     4*\x + \/ x /     

$$- \frac{\frac{\left(2 + \frac{1}{\sqrt{x}}\right)^{2}}{\sqrt{x} + x} + \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}}{4 \sqrt{x} + 4 x}$$

Третья производная

                    3                   
         /      1  \       /      1  \  
       2*|2 + -----|     3*|2 + -----|  
         |      ___|       |      ___|  
 3       \    \/ x /       \    \/ x /  
---- + -------------- + ----------------
 5/2               2     3/2 /      ___\
x       /      ___\     x   *\x + \/ x /
        \x + \/ x /                     
----------------------------------------
               /      ___\              
             8*\x + \/ x /              

$$\frac{1}{8 \sqrt{x} + 8 x} \left(\frac{2 \left(2 + \frac{1}{\sqrt{x}}\right)^{3}}{\left(\sqrt{x} + x\right)^{2}} + \frac{6 + \frac{3}{\sqrt{x}}}{x^{\frac{3}{2}} \left(\sqrt{x} + x\right)} + \frac{3}{x^{\frac{5}{2}}}\right)$$

График