Производная log(x*e^x)

Вы ввели

   /   x\
log\x*E /

$$\log{\left (e^{x} x \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = e^{x} x$.

2. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(e^{x} x\right)$:

   1. Применяем правило производной умножения:

      $\frac{d}{d x}\left(f{\left (x \right )} g{\left (x \right )}\right) = f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$

      $f{\left (x \right )} = x$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

      1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

      $g{\left (x \right )} = e^{x}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

      1. Производная $e^{x}$ само оно.

      В результате: $e^{x} + x e^{x}$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{e^{- x}}{x} \left(e^{x} + x e^{x}\right)$

4. Теперь упростим:

   $\frac{1}{x} \left(x + 1\right)$

---

Ответ:

$\frac{1}{x} \left(x + 1\right)$

Первая производная

/ x      x\  -x
\E  + x*e /*e  
---------------
       x       

$$\frac{e^{- x}}{x} \left(e^{x} + x e^{x}\right)$$

Вторая производная

    1 + x
1 - -----
      x  
---------
    x    

$$\frac{1}{x} \left(1 - \frac{1}{x} \left(x + 1\right)\right)$$

Третья производная

  2*(2 + x)   2*(1 + x)   2*(1 + x)
- --------- + --------- + ---------
      x           x            2   
                              x    
-----------------------------------
                 x                 

$$\frac{1}{x} \left(\frac{1}{x} \left(2 x + 2\right) - \frac{1}{x} \left(2 x + 4\right) + \frac{1}{x^{2}} \left(2 x + 2\right)\right)$$