Производная log(x)^a

Вы ввели

   a   
log (x)

$$\log^{a}{\left (x \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \log{\left (x \right )}$.

2. В силу правила, применим: $u^{a}$ получим $\frac{a u^{a}}{u}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \log{\left (x \right )}$:

   1. Производная $\log{\left (x \right )}$ является $\frac{1}{x}$.

   В результате последовательности правил:

   $\frac{a \log^{a}{\left (x \right )}}{x \log{\left (x \right )}}$

4. Теперь упростим:

   $\frac{a}{x} \log^{a - 1}{\left (x \right )}$

---

Ответ:

$\frac{a}{x} \log^{a - 1}{\left (x \right )}$

Первая производная

     a   
a*log (x)
---------
 x*log(x)

$$\frac{a \log^{a}{\left (x \right )}}{x \log{\left (x \right )}}$$

Вторая производная

     a    /       1        a   \
a*log (x)*|-1 - ------ + ------|
          \     log(x)   log(x)/
--------------------------------
            2                   
           x *log(x)            

$$\frac{a \log^{a}{\left (x \right )}}{x^{2} \log{\left (x \right )}} \left(\frac{a}{\log{\left (x \right )}} - 1 - \frac{1}{\log{\left (x \right )}}\right)$$

Третья производная

          /                           2                     \
     a    |       2        3         a       3*a       3*a  |
a*log (x)*|2 + ------- + ------ + ------- - ------ - -------|
          |       2      log(x)      2      log(x)      2   |
          \    log (x)            log (x)            log (x)/
-------------------------------------------------------------
                           3                                 
                          x *log(x)                          

$$\frac{a \log^{a}{\left (x \right )}}{x^{3} \log{\left (x \right )}} \left(\frac{a^{2}}{\log^{2}{\left (x \right )}} - \frac{3 a}{\log{\left (x \right )}} - \frac{3 a}{\log^{2}{\left (x \right )}} + 2 + \frac{3}{\log{\left (x \right )}} + \frac{2}{\log^{2}{\left (x \right )}}\right)$$