Производная (1-cot(x))/(x+2)

Вы ввели

1 - cot(x)
----------
  x + 2   

$$\frac{1}{x + 2} \left(- \cot{\left (x \right )} + 1\right)$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = - \cot{\left (x \right )} + 1$ и $g{\left (x \right )} = x + 2$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. дифференцируем $- \cot{\left (x \right )} + 1$ почленно:

      1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

      2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

            Один из способов:

            1. $\frac{d}{d x} \cot{\left (x \right )} = - \frac{1}{\sin^{2}{\left (x \right )}}$

         Таким образом, в результате: $\frac{\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )} \tan^{2}{\left (x \right )}}$

      В результате: $\frac{\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )} \tan^{2}{\left (x \right )}}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. дифференцируем $x + 2$ почленно:

      1. Производная постоянной $2$ равна нулю.

      2. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

      В результате: $1$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{\left(x + 2\right)^{2}} \left(\frac{\left(x + 2\right) \left(\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}\right)}{\cos^{2}{\left (x \right )} \tan^{2}{\left (x \right )}} + \cot{\left (x \right )} - 1\right)$

2. Теперь упростим:

   $\frac{2 x + \sqrt{2} \sin{\left (2 x + \frac{\pi}{4} \right )} + 3}{\left(x + 2\right)^{2} \left(- \cos{\left (2 x \right )} + 1\right)}$

---

Ответ:

$\frac{2 x + \sqrt{2} \sin{\left (2 x + \frac{\pi}{4} \right )} + 3}{\left(x + 2\right)^{2} \left(- \cos{\left (2 x \right )} + 1\right)}$

Первая производная

       2                
1 + cot (x)   1 - cot(x)
----------- - ----------
   x + 2              2 
               (x + 2)  

$$\frac{\cot^{2}{\left (x \right )} + 1}{x + 2} - \frac{1}{\left(x + 2\right)^{2}} \left(- \cot{\left (x \right )} + 1\right)$$

Вторая производная

   /       2                                        \
   |1 + cot (x)   -1 + cot(x)   /       2   \       |
-2*|----------- + ----------- + \1 + cot (x)/*cot(x)|
   |   2 + x               2                        |
   \                (2 + x)                         /
-----------------------------------------------------
                        2 + x                        

$$- \frac{1}{x + 2} \left(2 \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \cot{\left (x \right )} + \frac{1}{x + 2} \left(2 \cot^{2}{\left (x \right )} + 2\right) + \frac{1}{\left(x + 2\right)^{2}} \left(2 \cot{\left (x \right )} - 2\right)\right)$$

Третья производная

  /             2                                                 /       2   \     /       2   \       \
  |/       2   \         2    /       2   \   3*(-1 + cot(x))   3*\1 + cot (x)/   3*\1 + cot (x)/*cot(x)|
2*|\1 + cot (x)/  + 2*cot (x)*\1 + cot (x)/ + --------------- + --------------- + ----------------------|
  |                                                      3                 2              2 + x         |
  \                                               (2 + x)           (2 + x)                             /
---------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                  2 + x                                                  

$$\frac{1}{x + 2} \left(2 \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{2} + 4 \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \cot^{2}{\left (x \right )} + \frac{6 \cot{\left (x \right )}}{x + 2} \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) + \frac{1}{\left(x + 2\right)^{2}} \left(6 \cot^{2}{\left (x \right )} + 6\right) + \frac{1}{\left(x + 2\right)^{3}} \left(6 \cot{\left (x \right )} - 6\right)\right)$$