Производная sin(cot(x))

Вы ввели

sin(cot(x))

$$\sin{\left (\cot{\left (x \right )} \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \cot{\left (x \right )}$.

2. Производная синуса есть косинус:

   $\frac{d}{d u} \sin{\left (u \right )} = \cos{\left (u \right )}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \cot{\left (x \right )}$:

   1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

      Один из способов:

      1. $\frac{d}{d x} \cot{\left (x \right )} = - \frac{1}{\sin^{2}{\left (x \right )}}$

   В результате последовательности правил:

   $- \frac{\left(\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}\right) \cos{\left (\cot{\left (x \right )} \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )} \tan^{2}{\left (x \right )}}$

4. Теперь упростим:

   $- \frac{\cos{\left (\frac{1}{\tan{\left (x \right )}} \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}}$

---

Ответ:

$- \frac{\cos{\left (\frac{1}{\tan{\left (x \right )}} \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}}$

Первая производная

/        2   \            
\-1 - cot (x)/*cos(cot(x))

$$\left(- \cot^{2}{\left (x \right )} - 1\right) \cos{\left (\cot{\left (x \right )} \right )}$$

Вторая производная

/       2   \ /  /       2   \                                   \
\1 + cot (x)/*\- \1 + cot (x)/*sin(cot(x)) + 2*cos(cot(x))*cot(x)/

$$\left(- \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \sin{\left (\cot{\left (x \right )} \right )} + 2 \cos{\left (\cot{\left (x \right )} \right )} \cot{\left (x \right )}\right) \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right)$$

Третья производная

              /             2                                                                                                       \
/       2   \ |/       2   \                     2                    /       2   \                 /       2   \                   |
\1 + cot (x)/*\\1 + cot (x)/ *cos(cot(x)) - 4*cot (x)*cos(cot(x)) - 2*\1 + cot (x)/*cos(cot(x)) + 6*\1 + cot (x)/*cot(x)*sin(cot(x))/

$$\left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \left(\left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{2} \cos{\left (\cot{\left (x \right )} \right )} + 6 \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \sin{\left (\cot{\left (x \right )} \right )} \cot{\left (x \right )} - 2 \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \cos{\left (\cot{\left (x \right )} \right )} - 4 \cos{\left (\cot{\left (x \right )} \right )} \cot^{2}{\left (x \right )}\right)$$