Производная (tan(2*x))^8

Вы ввели

   8     
tan (2*x)

$$\tan^{8}{\left(2 x \right)}$$

d /   8     \
--\tan (2*x)/
dx           

$$\frac{d}{d x} \tan^{8}{\left(2 x \right)}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \tan{\left(2 x \right)}$.

2. В силу правила, применим: $u^{8}$ получим $8 u^{7}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \tan{\left(2 x \right)}$:

   1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:

      $\tan{\left(2 x \right)} = \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{\cos{\left(2 x \right)}}$

   2. Применим правило производной частного:

      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

      $f{\left(x \right)} = \sin{\left(2 x \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \cos{\left(2 x \right)}$.

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Заменим $u = 2 x$.

      2. Производная синуса есть косинус:

         $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} 2 x$:

         1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            Таким образом, в результате: $2$

         В результате последовательности правил:

         $2 \cos{\left(2 x \right)}$

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. Заменим $u = 2 x$.

      2. Производная косинус есть минус синус:

         $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} 2 x$:

         1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            Таким образом, в результате: $2$

         В результате последовательности правил:

         $- 2 \sin{\left(2 x \right)}$

      Теперь применим правило производной деления:

      $\frac{2 \sin^{2}{\left(2 x \right)} + 2 \cos^{2}{\left(2 x \right)}}{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{8 \cdot \left(2 \sin^{2}{\left(2 x \right)} + 2 \cos^{2}{\left(2 x \right)}\right) \tan^{7}{\left(2 x \right)}}{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}$

4. Теперь упростим:

   $\frac{16 \tan^{7}{\left(2 x \right)}}{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}$

---

Ответ:

$\frac{16 \tan^{7}{\left(2 x \right)}}{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}$

Первая производная

   7      /           2     \
tan (2*x)*\16 + 16*tan (2*x)/

$$\left(16 \tan^{2}{\left(2 x \right)} + 16\right) \tan^{7}{\left(2 x \right)}$$

Вторая производная

      6      /       2     \ /         2     \
32*tan (2*x)*\1 + tan (2*x)/*\7 + 9*tan (2*x)/

$$32 \left(\tan^{2}{\left(2 x \right)} + 1\right) \left(9 \tan^{2}{\left(2 x \right)} + 7\right) \tan^{6}{\left(2 x \right)}$$

Третья производная

                              /                                2                               \
       5      /       2     \ |     4           /       2     \          2      /       2     \|
128*tan (2*x)*\1 + tan (2*x)/*\2*tan (2*x) + 21*\1 + tan (2*x)/  + 22*tan (2*x)*\1 + tan (2*x)//

$$128 \left(\tan^{2}{\left(2 x \right)} + 1\right) \left(21 \left(\tan^{2}{\left(2 x \right)} + 1\right)^{2} + 22 \left(\tan^{2}{\left(2 x \right)} + 1\right) \tan^{2}{\left(2 x \right)} + 2 \tan^{4}{\left(2 x \right)}\right) \tan^{5}{\left(2 x \right)}$$

График