Производная tan(x/2)-x

Вы ввели

   /x\    
tan|-| - x
   \2/    

$$- x + \tan{\left (\frac{x}{2} \right )}$$

Подробное решение

1. дифференцируем $- x + \tan{\left (\frac{x}{2} \right )}$ почленно:

   1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

      Один из способов:

      1. Заменим $u = \frac{x}{2}$.

      2. $\frac{d}{d u} \tan{\left (u \right )} = \frac{1}{\cos^{2}{\left (u \right )}}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(\frac{x}{2}\right)$:

         1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            Таким образом, в результате: $\frac{1}{2}$

         В результате последовательности правил:

         $\frac{1}{2 \cos^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )}}$

   2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

      1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

      Таким образом, в результате: $-1$

   В результате: $\frac{1}{\cos^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )}} \left(\frac{1}{2} \sin^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )} + \frac{1}{2} \cos^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )}\right) - 1$

2. Теперь упростим:

   $- \frac{\cos{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )} + 1}$

---

Ответ:

$- \frac{\cos{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )} + 1}$

Первая производная

         2/x\
      tan |-|
  1       \2/
- - + -------
  2      2   

$$\frac{1}{2} \tan^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )} - \frac{1}{2}$$

Вторая производная

/       2/x\\    /x\
|1 + tan |-||*tan|-|
\        \2//    \2/
--------------------
         2          

$$\frac{1}{2} \left(\tan^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )} + 1\right) \tan{\left (\frac{x}{2} \right )}$$

Третья производная

/       2/x\\ /         2/x\\
|1 + tan |-||*|1 + 3*tan |-||
\        \2// \          \2//
-----------------------------
              4              

$$\frac{1}{4} \left(\tan^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )} + 1\right) \left(3 \tan^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )} + 1\right)$$