Производная tan(x)/(tan(x)-1)

Вы ввели

  tan(x)  
----------
tan(x) - 1

$$\frac{\tan{\left (x \right )}}{\tan{\left (x \right )} - 1}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = \tan{\left (x \right )}$ и $g{\left (x \right )} = \tan{\left (x \right )} - 1$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

      Один из способов:

      1. $\frac{d}{d x} \tan{\left (x \right )} = \frac{1}{\cos^{2}{\left (x \right )}}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. дифференцируем $\tan{\left (x \right )} - 1$ почленно:

      1. Производная постоянной $-1$ равна нулю.

      2. Есть несколько способов вычислить эту производную.

         Один из способов:

         1. $\frac{d}{d x} \tan{\left (x \right )} = \frac{1}{\cos^{2}{\left (x \right )}}$

      В результате: $\frac{1}{\cos^{2}{\left (x \right )}} \left(\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}\right)$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{\left(\tan{\left (x \right )} - 1\right)^{2}} \left(\frac{1}{\cos^{2}{\left (x \right )}} \left(\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}\right) \left(\tan{\left (x \right )} - 1\right) - \frac{\tan{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )}} \left(\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}\right)\right)$

2. Теперь упростим:

   $- \frac{1}{\left(\tan{\left (x \right )} - 1\right)^{2} \cos^{2}{\left (x \right )}}$

---

Ответ:

$- \frac{1}{\left(\tan{\left (x \right )} - 1\right)^{2} \cos^{2}{\left (x \right )}}$

Первая производная

       2      /        2   \       
1 + tan (x)   \-1 - tan (x)/*tan(x)
----------- + ---------------------
 tan(x) - 1                   2    
                  (tan(x) - 1)     

$$\frac{\tan^{2}{\left (x \right )} + 1}{\tan{\left (x \right )} - 1} + \frac{\left(- \tan^{2}{\left (x \right )} - 1\right) \tan{\left (x \right )}}{\left(\tan{\left (x \right )} - 1\right)^{2}}$$

Вторая производная

                /       2               2      /       2   \                \
  /       2   \ |    tan (x)     1 + tan (x)   \1 + tan (x)/*tan(x)         |
2*\1 + tan (x)/*|- ----------- - ----------- + -------------------- + tan(x)|
                |  -1 + tan(x)   -1 + tan(x)                   2            |
                \                                 (-1 + tan(x))             /
-----------------------------------------------------------------------------
                                 -1 + tan(x)                                 

$$\frac{2}{\tan{\left (x \right )} - 1} \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \left(\tan{\left (x \right )} - \frac{\tan^{2}{\left (x \right )} + 1}{\tan{\left (x \right )} - 1} - \frac{\tan^{2}{\left (x \right )}}{\tan{\left (x \right )} - 1} + \frac{\left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \tan{\left (x \right )}}{\left(\tan{\left (x \right )} - 1\right)^{2}}\right)$$

Третья производная

                /                                             2                                           2                                 \
                |                      3         /       2   \      /       2   \            /       2   \                2    /       2   \|
  /       2   \ |         2       2*tan (x)    3*\1 + tan (x)/    7*\1 + tan (x)/*tan(x)   3*\1 + tan (x)/ *tan(x)   6*tan (x)*\1 + tan (x)/|
2*\1 + tan (x)/*|1 + 3*tan (x) - ----------- + ---------------- - ---------------------- - ----------------------- + -----------------------|
                |                -1 + tan(x)                 2         -1 + tan(x)                           3                         2    |
                \                               (-1 + tan(x))                                   (-1 + tan(x))             (-1 + tan(x))     /
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                 -1 + tan(x)                                                                 

$$\frac{2}{\tan{\left (x \right )} - 1} \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \left(3 \tan^{2}{\left (x \right )} + 1 - \frac{7 \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \tan{\left (x \right )}}{\tan{\left (x \right )} - 1} - \frac{2 \tan^{3}{\left (x \right )}}{\tan{\left (x \right )} - 1} + \frac{3 \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{2}}{\left(\tan{\left (x \right )} - 1\right)^{2}} + \frac{6 \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \tan^{2}{\left (x \right )}}{\left(\tan{\left (x \right )} - 1\right)^{2}} - \frac{3 \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{2} \tan{\left (x \right )}}{\left(\tan{\left (x \right )} - 1\right)^{3}}\right)$$