Производная (tan(x^2))^3

Вы ввели

   3/ 2\
tan \x /

$$\tan^{3}{\left (x^{2} \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \tan{\left (x^{2} \right )}$.

2. В силу правила, применим: $u^{3}$ получим $3 u^{2}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \tan{\left (x^{2} \right )}$:

   1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

      Один из способов:

      1. Заменим $u = x^{2}$.

      2. $\frac{d}{d u} \tan{\left (u \right )} = \frac{1}{\cos^{2}{\left (u \right )}}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} x^{2}$:

         1. В силу правила, применим: $x^{2}$ получим $2 x$

         В результате последовательности правил:

         $\frac{2 x}{\cos^{2}{\left (x^{2} \right )}}$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{3 \tan^{2}{\left (x^{2} \right )}}{\cos^{2}{\left (x^{2} \right )}} \left(2 x \sin^{2}{\left (x^{2} \right )} + 2 x \cos^{2}{\left (x^{2} \right )}\right)$

4. Теперь упростим:

   $\frac{6 x \tan^{2}{\left (x^{2} \right )}}{\cos^{2}{\left (x^{2} \right )}}$

---

Ответ:

$\frac{6 x \tan^{2}{\left (x^{2} \right )}}{\cos^{2}{\left (x^{2} \right )}}$

Первая производная

       2/ 2\ /       2/ 2\\
6*x*tan \x /*\1 + tan \x //

$$6 x \left(\tan^{2}{\left (x^{2} \right )} + 1\right) \tan^{2}{\left (x^{2} \right )}$$

Вторая производная

  /       2/ 2\\ /   2    2/ 2\      2 /       2/ 2\\      / 2\\    / 2\
6*\1 + tan \x //*\4*x *tan \x / + 4*x *\1 + tan \x // + tan\x //*tan\x /

$$6 \left(\tan^{2}{\left (x^{2} \right )} + 1\right) \left(4 x^{2} \left(\tan^{2}{\left (x^{2} \right )} + 1\right) + 4 x^{2} \tan^{2}{\left (x^{2} \right )} + \tan{\left (x^{2} \right )}\right) \tan{\left (x^{2} \right )}$$

Третья производная

                    /                                2                                                                           \
     /       2/ 2\\ |     3/ 2\      2 /       2/ 2\\      /       2/ 2\\    / 2\      2    4/ 2\       2    2/ 2\ /       2/ 2\\|
24*x*\1 + tan \x //*\3*tan \x / + 2*x *\1 + tan \x //  + 3*\1 + tan \x //*tan\x / + 4*x *tan \x / + 14*x *tan \x /*\1 + tan \x ///

$$24 x \left(\tan^{2}{\left (x^{2} \right )} + 1\right) \left(2 x^{2} \left(\tan^{2}{\left (x^{2} \right )} + 1\right)^{2} + 14 x^{2} \left(\tan^{2}{\left (x^{2} \right )} + 1\right) \tan^{2}{\left (x^{2} \right )} + 4 x^{2} \tan^{4}{\left (x^{2} \right )} + 3 \left(\tan^{2}{\left (x^{2} \right )} + 1\right) \tan{\left (x^{2} \right )} + 3 \tan^{3}{\left (x^{2} \right )}\right)$$