Производная x/(x^3+4)

Вы ввели

  x   
------
 3    
x  + 4

$$\frac{x}{x^{3} + 4}$$

d /  x   \
--|------|
dx| 3    |
  \x  + 4/

$$\frac{d}{d x} \frac{x}{x^{3} + 4}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = x$ и $g{\left(x \right)} = x^{3} + 4$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. дифференцируем $x^{3} + 4$ почленно:

      1. Производная постоянной $4$ равна нулю.

      2. В силу правила, применим: $x^{3}$ получим $3 x^{2}$

      В результате: $3 x^{2}$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{4 - 2 x^{3}}{\left(x^{3} + 4\right)^{2}}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{2 \cdot \left(2 - x^{3}\right)}{\left(x^{3} + 4\right)^{2}}$

---

Ответ:

$\frac{2 \cdot \left(2 - x^{3}\right)}{\left(x^{3} + 4\right)^{2}}$

Первая производная

               3  
  1         3*x   
------ - ---------
 3               2
x  + 4   / 3    \ 
         \x  + 4/ 

$$- \frac{3 x^{3}}{\left(x^{3} + 4\right)^{2}} + \frac{1}{x^{3} + 4}$$

Вторая производная

     /         3 \
   2 |      3*x  |
6*x *|-2 + ------|
     |          3|
     \     4 + x /
------------------
            2     
    /     3\      
    \4 + x /      

$$\frac{6 x^{2} \cdot \left(\frac{3 x^{3}}{x^{3} + 4} - 2\right)}{\left(x^{3} + 4\right)^{2}}$$

Третья производная

    /           6         3 \
    |       27*x      27*x  |
6*x*|-4 - --------- + ------|
    |             2        3|
    |     /     3\    4 + x |
    \     \4 + x /          /
-----------------------------
                  2          
          /     3\           
          \4 + x /           

$$\frac{6 x \left(- \frac{27 x^{6}}{\left(x^{3} + 4\right)^{2}} + \frac{27 x^{3}}{x^{3} + 4} - 4\right)}{\left(x^{3} + 4\right)^{2}}$$

График