Производная x+cot(1/x)

Вы ввели

       /1\
x + cot|-|
       \x/

$$x + \cot{\left (\frac{1}{x} \right )}$$

Подробное решение

1. дифференцируем $x + \cot{\left (\frac{1}{x} \right )}$ почленно:

   1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

   2. Есть несколько способов вычислить эту производную.

      Один из способов:

      1. Заменим $u = \frac{1}{x}$.

      2. $\frac{d}{d u} \cot{\left (u \right )} = - \frac{1}{\sin^{2}{\left (u \right )}}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \frac{1}{x}$:

         1. В силу правила, применим: $\frac{1}{x}$ получим $- \frac{1}{x^{2}}$

         В результате последовательности правил:

         $\frac{1}{x^{2} \sin^{2}{\left (\frac{1}{x} \right )}}$

   В результате: $- \frac{- \frac{1}{x^{2}} \sin^{2}{\left (\frac{1}{x} \right )} - \frac{1}{x^{2}} \cos^{2}{\left (\frac{1}{x} \right )}}{\cos^{2}{\left (\frac{1}{x} \right )} \tan^{2}{\left (\frac{1}{x} \right )}} + 1$

2. Теперь упростим:

   $1 + \frac{1}{x^{2} \sin^{2}{\left (\frac{1}{x} \right )}}$

---

Ответ:

$1 + \frac{1}{x^{2} \sin^{2}{\left (\frac{1}{x} \right )}}$

Первая производная

            2/1\
    -1 - cot |-|
             \x/
1 - ------------
          2     
         x      

$$1 - \frac{1}{x^{2}} \left(- \cot^{2}{\left (\frac{1}{x} \right )} - 1\right)$$

Вторая производная

                /        /1\\
                |     cot|-||
  /       2/1\\ |        \x/|
2*|1 + cot |-||*|-1 + ------|
  \        \x// \       x   /
-----------------------------
               3             
              x              

$$\frac{2}{x^{3}} \left(-1 + \frac{1}{x} \cot{\left (\frac{1}{x} \right )}\right) \left(\cot^{2}{\left (\frac{1}{x} \right )} + 1\right)$$

Третья производная

                /           2/1\        /1\        2/1\\
                |    1 + cot |-|   6*cot|-|   2*cot |-||
  /       2/1\\ |            \x/        \x/         \x/|
2*|1 + cot |-||*|3 + ----------- - -------- + ---------|
  \        \x// |          2          x            2   |
                \         x                       x    /
--------------------------------------------------------
                            4                           
                           x                            

$$\frac{2}{x^{4}} \left(\cot^{2}{\left (\frac{1}{x} \right )} + 1\right) \left(3 - \frac{6}{x} \cot{\left (\frac{1}{x} \right )} + \frac{1}{x^{2}} \left(\cot^{2}{\left (\frac{1}{x} \right )} + 1\right) + \frac{2}{x^{2}} \cot^{2}{\left (\frac{1}{x} \right )}\right)$$