Производная z/(z-1)

Вы ввели

  z  
-----
z - 1

$$\frac{z}{z - 1}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d z}\left(\frac{f{\left (z \right )}}{g{\left (z \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (z \right )}} \left(- f{\left (z \right )} \frac{d}{d z} g{\left (z \right )} + g{\left (z \right )} \frac{d}{d z} f{\left (z \right )}\right)$

   $f{\left (z \right )} = z$ и $g{\left (z \right )} = z - 1$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d z} f{\left (z \right )}$:

   1. В силу правила, применим: $z$ получим $1$

   Чтобы найти $\frac{d}{d z} g{\left (z \right )}$:

   1. дифференцируем $z - 1$ почленно:

      1. Производная постоянной $-1$ равна нулю.

      2. В силу правила, применим: $z$ получим $1$

      В результате: $1$

   Теперь применим правило производной деления:

   $- \frac{1}{\left(z - 1\right)^{2}}$

---

Ответ:

$- \frac{1}{\left(z - 1\right)^{2}}$

Первая производная

  1        z    
----- - --------
z - 1          2
        (z - 1) 

$$- \frac{z}{\left(z - 1\right)^{2}} + \frac{1}{z - 1}$$

Вторая производная

  /       z   \
2*|-1 + ------|
  \     -1 + z/
---------------
           2   
   (-1 + z)    

$$\frac{\frac{2 z}{z - 1} - 2}{\left(z - 1\right)^{2}}$$

Третья производная

  /      z   \
6*|1 - ------|
  \    -1 + z/
--------------
          3   
  (-1 + z)    

$$\frac{1}{\left(z - 1\right)^{3}} \left(- \frac{6 z}{z - 1} + 6\right)$$