Производная z/(z+1)

Вы ввели

  z  
-----
z + 1

$$\frac{z}{z + 1}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d z}\left(\frac{f{\left (z \right )}}{g{\left (z \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (z \right )}} \left(- f{\left (z \right )} \frac{d}{d z} g{\left (z \right )} + g{\left (z \right )} \frac{d}{d z} f{\left (z \right )}\right)$

   $f{\left (z \right )} = z$ и $g{\left (z \right )} = z + 1$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d z} f{\left (z \right )}$:

   1. В силу правила, применим: $z$ получим $1$

   Чтобы найти $\frac{d}{d z} g{\left (z \right )}$:

   1. дифференцируем $z + 1$ почленно:

      1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

      2. В силу правила, применим: $z$ получим $1$

      В результате: $1$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{\left(z + 1\right)^{2}}$

---

Ответ:

$\frac{1}{\left(z + 1\right)^{2}}$

Первая производная

  1        z    
----- - --------
z + 1          2
        (z + 1) 

$$- \frac{z}{\left(z + 1\right)^{2}} + \frac{1}{z + 1}$$

Вторая производная

  /       z  \
2*|-1 + -----|
  \     1 + z/
--------------
          2   
   (1 + z)    

$$\frac{\frac{2 z}{z + 1} - 2}{\left(z + 1\right)^{2}}$$

Третья производная

  /      z  \
6*|1 - -----|
  \    1 + z/
-------------
          3  
   (1 + z)   

$$\frac{1}{\left(z + 1\right)^{3}} \left(- \frac{6 z}{z + 1} + 6\right)$$