(3-i)*z1+(4-2*i)*z2=2+6*i ... +2*i)*z1-(2+3*i)*z2=5+4*i

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение системы уравнений 😼

v

Для графика:

: [, ]
: [, ]

Решение

Вы ввели [src]
(3 - I)*z1 + (4 - 2*I)*z2 = 2 + 6*I
z1(3i)+z2(42i)=2+6iz_{1} \left(3 - i\right) + z_{2} \left(4 - 2 i\right) = 2 + 6 i
(4 + 2*I)*z1 - (2 + 3*I)*z2 = 5 + 4*I
z1(4+2i)z2(2+3i)=5+4iz_{1} \left(4 + 2 i\right) - z_{2} \left(2 + 3 i\right) = 5 + 4 i
Подробное решение
Дана система ур-ний
z1(3i)+z2(42i)=2+6iz_{1} \left(3 - i\right) + z_{2} \left(4 - 2 i\right) = 2 + 6 i
z1(4+2i)z2(2+3i)=5+4iz_{1} \left(4 + 2 i\right) - z_{2} \left(2 + 3 i\right) = 5 + 4 i

Из 1-го ур-ния выразим z1
z1(3i)+z2(42i)=2+6iz_{1} \left(3 - i\right) + z_{2} \left(4 - 2 i\right) = 2 + 6 i
Перенесем слагаемое с переменной z2 из левой части в правую со сменой знака
z1(3i)+z2(42i)z2(42i)=1z1(3i)z1(3i)z2(42i)+2+6iz_{1} \left(3 - i\right) + z_{2} \left(4 - 2 i\right) - z_{2} \left(4 - 2 i\right) = - -1 z_{1} \left(3 - i\right) - z_{1} \left(3 - i\right) - z_{2} \left(4 - 2 i\right) + 2 + 6 i
z1(3i)=z2(42i)+2+6iz_{1} \left(3 - i\right) = - z_{2} \left(4 - 2 i\right) + 2 + 6 i
Разделим обе части ур-ния на множитель при z1
z1(3i)3i=13i(z2(42i)+2+6i)\frac{z_{1} \left(3 - i\right)}{3 - i} = \frac{1}{3 - i} \left(- z_{2} \left(4 - 2 i\right) + 2 + 6 i\right)
z1=7z25+iz25+2iz_{1} = - \frac{7 z_{2}}{5} + \frac{i z_{2}}{5} + 2 i
Подставим найденное z1 в 2-е ур-ние
z1(4+2i)z2(2+3i)=5+4iz_{1} \left(4 + 2 i\right) - z_{2} \left(2 + 3 i\right) = 5 + 4 i
Получим:
z2(2+3i)+(4+2i)(7z25+iz25+2i)=5+4i- z_{2} \left(2 + 3 i\right) + \left(4 + 2 i\right) \left(- \frac{7 z_{2}}{5} + \frac{i z_{2}}{5} + 2 i\right) = 5 + 4 i
8z25iz24+8i=5+4i- 8 z_{2} - 5 i z_{2} - 4 + 8 i = 5 + 4 i
Перенесем свободное слагаемое -4 + 8*i из левой части в правую со сменой знака
8z25iz2=48i+5+4i- 8 z_{2} - 5 i z_{2} = 4 - 8 i + 5 + 4 i
8z25iz2=94i- 8 z_{2} - 5 i z_{2} = 9 - 4 i
Разделим обе части ур-ния на множитель при z2
8z25iz28z25iz2=94i8z25iz2\frac{- 8 z_{2} - 5 i z_{2}}{- 8 z_{2} - 5 i z_{2}} = \frac{9 - 4 i}{- 8 z_{2} - 5 i z_{2}}
9+4iz2(8+5i)=1\frac{-9 + 4 i}{z_{2} \left(8 + 5 i\right)} = 1
Т.к.
z1=7z25+iz25+2iz_{1} = - \frac{7 z_{2}}{5} + \frac{i z_{2}}{5} + 2 i
то
z1=75+i5+2iz_{1} = - \frac{7}{5} + \frac{i}{5} + 2 i
z1=75+11i5z_{1} = - \frac{7}{5} + \frac{11 i}{5}

Ответ:
z1=75+11i5z_{1} = - \frac{7}{5} + \frac{11 i}{5}
9+4iz2(8+5i)=1\frac{-9 + 4 i}{z_{2} \left(8 + 5 i\right)} = 1
Быстрый ответ
z21=5289+77i89z_{21} = - \frac{52}{89} + \frac{77 i}{89}
=
5289+77i89- \frac{52}{89} + \frac{77 i}{89}
=
-0.584269662921348 + 0.865168539325843*i

z11=287445+299i445z_{11} = \frac{287}{445} + \frac{299 i}{445}
=
287445+299i445\frac{287}{445} + \frac{299 i}{445}
=
0.644943820224719 + 0.671910112359551*i
Метод Крамера
z1(3i)+z2(42i)=2+6iz_{1} \left(3 - i\right) + z_{2} \left(4 - 2 i\right) = 2 + 6 i
z1(4+2i)z2(2+3i)=5+4iz_{1} \left(4 + 2 i\right) - z_{2} \left(2 + 3 i\right) = 5 + 4 i

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
3z1iz1+4z22iz226i=03 z_{1} - i z_{1} + 4 z_{2} - 2 i z_{2} - 2 - 6 i = 0
4z1+2iz12z23iz254i=04 z_{1} + 2 i z_{1} - 2 z_{2} - 3 i z_{2} - 5 - 4 i = 0
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
[x1(3i)+x2(42i)x1(4+2i)+x2(23i)]=[2+6i5+4i]\left[\begin{matrix}x_{1} \left(3 - i\right) + x_{2} \left(4 - 2 i\right)\\x_{1} \left(4 + 2 i\right) + x_{2} \left(-2 - 3 i\right)\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}2 + 6 i\\5 + 4 i\end{matrix}\right]
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
A=det([3i42i4+2i23i])=297iA = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}3 - i & 4 - 2 i\\4 + 2 i & -2 - 3 i\end{matrix}\right] \right )} = -29 - 7 i
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
x1=1297idet([2+6i42i5+4i23i])=13i(2(42i)(513i(2+6i)(4+2i)+4i)23i13i(42i)(4+2i)+6i)x_{1} = \frac{1}{-29 - 7 i} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}2 + 6 i & 4 - 2 i\\5 + 4 i & -2 - 3 i\end{matrix}\right] \right )} = \frac{1}{3 - i} \left(2 - \frac{\left(4 - 2 i\right) \left(5 - \frac{1}{3 - i} \left(2 + 6 i\right) \left(4 + 2 i\right) + 4 i\right)}{-2 - 3 i - \frac{1}{3 - i} \left(4 - 2 i\right) \left(4 + 2 i\right)} + 6 i\right)
=
287445+299i445\frac{287}{445} + \frac{299 i}{445}
x2=1297idet([3i2+6i4+2i5+4i])=513i(2+6i)(4+2i)+4i23i13i(42i)(4+2i)x_{2} = \frac{1}{-29 - 7 i} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}3 - i & 2 + 6 i\\4 + 2 i & 5 + 4 i\end{matrix}\right] \right )} = \frac{5 - \frac{1}{3 - i} \left(2 + 6 i\right) \left(4 + 2 i\right) + 4 i}{-2 - 3 i - \frac{1}{3 - i} \left(4 - 2 i\right) \left(4 + 2 i\right)}
=
5289+77i89- \frac{52}{89} + \frac{77 i}{89}
Метод Гаусса
Дана система ур-ний
z1(3i)+z2(42i)=2+6iz_{1} \left(3 - i\right) + z_{2} \left(4 - 2 i\right) = 2 + 6 i
z1(4+2i)z2(2+3i)=5+4iz_{1} \left(4 + 2 i\right) - z_{2} \left(2 + 3 i\right) = 5 + 4 i

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
3z1iz1+4z22iz226i=03 z_{1} - i z_{1} + 4 z_{2} - 2 i z_{2} - 2 - 6 i = 0
4z1+2iz12z23iz254i=04 z_{1} + 2 i z_{1} - 2 z_{2} - 3 i z_{2} - 5 - 4 i = 0
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
[3i42i2+6i4+2i23i5+4i]\left[\begin{matrix}3 - i & 4 - 2 i & 2 + 6 i\\4 + 2 i & -2 - 3 i & 5 + 4 i\end{matrix}\right]
В 1 ом столбце
[3i4+2i]\left[\begin{matrix}3 - i\\4 + 2 i\end{matrix}\right]
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
[3i42i2+6i]\left[\begin{matrix}3 - i & 4 - 2 i & 2 + 6 i\end{matrix}\right]
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
[4+2i+4+2i23i13i(42i)(4+2i)13i(2+6i)(4+2i)+5+4i]=[023i13i(42i)(4+2i)513i(2+6i)(4+2i)+4i]\left[\begin{matrix}- 4 + 2 i + 4 + 2 i & -2 - 3 i - \frac{1}{3 - i} \left(4 - 2 i\right) \left(4 + 2 i\right) & - \frac{1}{3 - i} \left(2 + 6 i\right) \left(4 + 2 i\right) + 5 + 4 i\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -2 - 3 i - \frac{1}{3 - i} \left(4 - 2 i\right) \left(4 + 2 i\right) & 5 - \frac{1}{3 - i} \left(2 + 6 i\right) \left(4 + 2 i\right) + 4 i\end{matrix}\right]
получаем
[3i42i2+6i023i13i(42i)(4+2i)513i(2+6i)(4+2i)+4i]\left[\begin{matrix}3 - i & 4 - 2 i & 2 + 6 i\\0 & -2 - 3 i - \frac{1}{3 - i} \left(4 - 2 i\right) \left(4 + 2 i\right) & 5 - \frac{1}{3 - i} \left(2 + 6 i\right) \left(4 + 2 i\right) + 4 i\end{matrix}\right]
Во 2 ом столбце
[42i23i13i(42i)(4+2i)]\left[\begin{matrix}4 - 2 i\\-2 - 3 i - \frac{1}{3 - i} \left(4 - 2 i\right) \left(4 + 2 i\right)\end{matrix}\right]
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
[023i13i(42i)(4+2i)513i(2+6i)(4+2i)+4i]\left[\begin{matrix}0 & -2 - 3 i - \frac{1}{3 - i} \left(4 - 2 i\right) \left(4 + 2 i\right) & 5 - \frac{1}{3 - i} \left(2 + 6 i\right) \left(4 + 2 i\right) + 4 i\end{matrix}\right]
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
[0+3i42i42i(42i)(513i(2+6i)(4+2i)+4i)23i13i(42i)(4+2i)+2+6i]=[3i02(42i)(513i(2+6i)(4+2i)+4i)23i13i(42i)(4+2i)+6i]\left[\begin{matrix}- 0 + 3 - i & 4 - 2 i - 4 - 2 i & - \frac{\left(4 - 2 i\right) \left(5 - \frac{1}{3 - i} \left(2 + 6 i\right) \left(4 + 2 i\right) + 4 i\right)}{-2 - 3 i - \frac{1}{3 - i} \left(4 - 2 i\right) \left(4 + 2 i\right)} + 2 + 6 i\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}3 - i & 0 & 2 - \frac{\left(4 - 2 i\right) \left(5 - \frac{1}{3 - i} \left(2 + 6 i\right) \left(4 + 2 i\right) + 4 i\right)}{-2 - 3 i - \frac{1}{3 - i} \left(4 - 2 i\right) \left(4 + 2 i\right)} + 6 i\end{matrix}\right]
получаем
[3i02(42i)(513i(2+6i)(4+2i)+4i)23i13i(42i)(4+2i)+6i023i13i(42i)(4+2i)513i(2+6i)(4+2i)+4i]\left[\begin{matrix}3 - i & 0 & 2 - \frac{\left(4 - 2 i\right) \left(5 - \frac{1}{3 - i} \left(2 + 6 i\right) \left(4 + 2 i\right) + 4 i\right)}{-2 - 3 i - \frac{1}{3 - i} \left(4 - 2 i\right) \left(4 + 2 i\right)} + 6 i\\0 & -2 - 3 i - \frac{1}{3 - i} \left(4 - 2 i\right) \left(4 + 2 i\right) & 5 - \frac{1}{3 - i} \left(2 + 6 i\right) \left(4 + 2 i\right) + 4 i\end{matrix}\right]

Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
x1(3i)26i+(42i)(513i(2+6i)(4+2i)+4i)23i13i(42i)(4+2i)=0x_{1} \left(3 - i\right) - 2 - 6 i + \frac{\left(4 - 2 i\right) \left(5 - \frac{1}{3 - i} \left(2 + 6 i\right) \left(4 + 2 i\right) + 4 i\right)}{-2 - 3 i - \frac{1}{3 - i} \left(4 - 2 i\right) \left(4 + 2 i\right)} = 0
x2(23i13i(42i)(4+2i))54i+13i(2+6i)(4+2i)=0x_{2} \left(-2 - 3 i - \frac{1}{3 - i} \left(4 - 2 i\right) \left(4 + 2 i\right)\right) - 5 - 4 i + \frac{1}{3 - i} \left(2 + 6 i\right) \left(4 + 2 i\right) = 0
Получаем ответ:
x1=287445+299i445x_{1} = \frac{287}{445} + \frac{299 i}{445}
x2=5289+77i89x_{2} = - \frac{52}{89} + \frac{77 i}{89}
Численный ответ [src]
z11 = 0.6449438202247191 + 0.6719101123595506*i
z21 = -0.5842696629213483 + 0.8651685393258427*i