2cos^2x-sinx+1=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: 2cos^2x-sinx+1=0

Вы ввели

     2                    
2*cos (x) - sin(x) + 1 = 0

$$- \sin{\left(x \right)} + 2 \cos^{2}{\left(x \right)} + 1 = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$- \sin{\left(x \right)} + 2 \cos^{2}{\left(x \right)} + 1 = 0$$
преобразуем
$$- \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)} + 2 = 0$$
$$- 2 \sin^{2}{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)} + 3 = 0$$
Сделаем замену
$$w = \sin{\left(x \right)}$$
Это уравнение вида

a*w^2 + b*w + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = -2$$
$$b = -1$$
$$c = 3$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-1)^2 - 4 * (-2) * (3) = 25

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$w_{1} = - \frac{3}{2}$$
Упростить
$$w_{2} = 1$$
Упростить
делаем обратную замену
$$\sin{\left(x \right)} = w$$
Дано уравнение
$$\sin{\left(x \right)} = w$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi$$
Или
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi$$
, где n - любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w_{1} \right)}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(- \frac{3}{2} \right)}$$
$$x_{1} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{3}{2} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w_{2} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(1 \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w_{1} \right)} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n + \pi - \operatorname{asin}{\left(- \frac{3}{2} \right)}$$
$$x_{3} = 2 \pi n + \pi + \operatorname{asin}{\left(\frac{3}{2} \right)}$$
$$x_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w_{2} \right)} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(1 \right)} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n + \frac{\pi}{2}$$

Быстрый ответ

     pi
x1 = --
     2 

$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$

           /    /        ___\\         /    /        ___\\
           |    |2   I*\/ 5 ||         |    |2   I*\/ 5 ||
x2 = - 2*re|atan|- - -------|| - 2*I*im|atan|- - -------||
           \    \3      3   //         \    \3      3   //

$$x_{2} = - 2 \operatorname{re}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{2}{3} - \frac{\sqrt{5} i}{3} \right)}\right)} - 2 i \operatorname{im}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{2}{3} - \frac{\sqrt{5} i}{3} \right)}\right)}$$

           /    /        ___\\         /    /        ___\\
           |    |2   I*\/ 5 ||         |    |2   I*\/ 5 ||
x3 = - 2*re|atan|- + -------|| - 2*I*im|atan|- + -------||
           \    \3      3   //         \    \3      3   //

$$x_{3} = - 2 \operatorname{re}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{2}{3} + \frac{\sqrt{5} i}{3} \right)}\right)} - 2 i \operatorname{im}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{2}{3} + \frac{\sqrt{5} i}{3} \right)}\right)}$$

Сумма и произведение корней

сумма

               /    /        ___\\         /    /        ___\\         /    /        ___\\         /    /        ___\\
    pi         |    |2   I*\/ 5 ||         |    |2   I*\/ 5 ||         |    |2   I*\/ 5 ||         |    |2   I*\/ 5 ||
0 + -- + - 2*re|atan|- - -------|| - 2*I*im|atan|- - -------|| + - 2*re|atan|- + -------|| - 2*I*im|atan|- + -------||
    2          \    \3      3   //         \    \3      3   //         \    \3      3   //         \    \3      3   //

$$\left(- 2 \operatorname{re}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{2}{3} + \frac{\sqrt{5} i}{3} \right)}\right)} - 2 i \operatorname{im}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{2}{3} + \frac{\sqrt{5} i}{3} \right)}\right)}\right) - \left(- \frac{\pi}{2} + 2 \operatorname{re}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{2}{3} - \frac{\sqrt{5} i}{3} \right)}\right)} + 2 i \operatorname{im}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{2}{3} - \frac{\sqrt{5} i}{3} \right)}\right)}\right)$$

=

         /    /        ___\\       /    /        ___\\         /    /        ___\\         /    /        ___\\
pi       |    |2   I*\/ 5 ||       |    |2   I*\/ 5 ||         |    |2   I*\/ 5 ||         |    |2   I*\/ 5 ||
-- - 2*re|atan|- - -------|| - 2*re|atan|- + -------|| - 2*I*im|atan|- - -------|| - 2*I*im|atan|- + -------||
2        \    \3      3   //       \    \3      3   //         \    \3      3   //         \    \3      3   //

$$- 2 \operatorname{re}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{2}{3} - \frac{\sqrt{5} i}{3} \right)}\right)} - 2 \operatorname{re}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{2}{3} + \frac{\sqrt{5} i}{3} \right)}\right)} + \frac{\pi}{2} - 2 i \operatorname{im}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{2}{3} + \frac{\sqrt{5} i}{3} \right)}\right)} - 2 i \operatorname{im}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{2}{3} - \frac{\sqrt{5} i}{3} \right)}\right)}$$

произведение

     /      /    /        ___\\         /    /        ___\\\ /      /    /        ___\\         /    /        ___\\\
  pi |      |    |2   I*\/ 5 ||         |    |2   I*\/ 5 ||| |      |    |2   I*\/ 5 ||         |    |2   I*\/ 5 |||
1*--*|- 2*re|atan|- - -------|| - 2*I*im|atan|- - -------|||*|- 2*re|atan|- + -------|| - 2*I*im|atan|- + -------|||
  2  \      \    \3      3   //         \    \3      3   /// \      \    \3      3   //         \    \3      3   ///

$$1 \frac{\pi}{2} \left(- 2 \operatorname{re}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{2}{3} - \frac{\sqrt{5} i}{3} \right)}\right)} - 2 i \operatorname{im}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{2}{3} - \frac{\sqrt{5} i}{3} \right)}\right)}\right) \left(- 2 \operatorname{re}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{2}{3} + \frac{\sqrt{5} i}{3} \right)}\right)} - 2 i \operatorname{im}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{2}{3} + \frac{\sqrt{5} i}{3} \right)}\right)}\right)$$

=

     /    /    /        ___\\     /    /        ___\\\ /    /    /        ___\\     /    /        ___\\\
     |    |    |2   I*\/ 5 ||     |    |2   I*\/ 5 ||| |    |    |2   I*\/ 5 ||     |    |2   I*\/ 5 |||
2*pi*|I*im|atan|- - -------|| + re|atan|- - -------|||*|I*im|atan|- + -------|| + re|atan|- + -------|||
     \    \    \3      3   //     \    \3      3   /// \    \    \3      3   //     \    \3      3   ///

$$2 \pi \left(\operatorname{re}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{2}{3} - \frac{\sqrt{5} i}{3} \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{2}{3} - \frac{\sqrt{5} i}{3} \right)}\right)}\right) \left(\operatorname{re}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{2}{3} + \frac{\sqrt{5} i}{3} \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{2}{3} + \frac{\sqrt{5} i}{3} \right)}\right)}\right)$$

Численный ответ

x1 = -29.8451300961891

x2 = -4.71238918262372

x3 = 1.5707965512793

x4 = 26.7035370526608

x5 = 39.2699084514379

x6 = 70.6858340983385

x7 = 64.4026493083898

x8 = -61.2610569699116

x9 = 76.9690197407206

x10 = -344.004395200939

x11 = 32.9867225890608

x12 = 58.1194644252942

x13 = -42.4115006046326

x14 = -86.3937974638418

x15 = 7.85398154209691

x16 = 5059.53496874127

x17 = 83.2522050943984

x18 = -48.6946858512964

x19 = -17.2787598148727

x20 = -10.9955745622052

x21 = -61.2610570486251

x22 = 51.8362789006383

x23 = -249.756615296004

x24 = 39.2699079550333

x25 = -54.9778709111352

x26 = 120.951317637826

x27 = -80.1106125792792

x28 = -48.6946854353035

x29 = -67.544242168212

x30 = -54.9778711982456

x31 = 28448643.5798958

x32 = 45.5530937069684

x33 = 7.85398199650295

x34 = 1.57079697097234

x35 = -98.9601688634583

x36 = -10.9955740571634

x37 = 95.818576059834

x38 = -17.2787599934146

x39 = -80.1106125809924

x40 = -61.2610569705172

x41 = -36.1283154188552

x42 = 32.9867230825321

x43 = -92.6769830031936

x44 = 32.9867222858631

x45 = 83.2522056022406

x46 = 89.5353908624308

x47 = -4.71238869974715

x48 = 14.137167105959

x49 = -48.6946863183214

x50 = 26.7035373409868

x51 = 76.9690202206443

x52 = 58.1194638063783

x53 = 70.6858344970552

x54 = 14.1371675105276

x55 = 7.8539817410929

x56 = -92.6769834517589

x57 = -73.8274272800012

x58 = -54.9778717130537

x59 = -86.3937977607638

x60 = 89.5353910650609

x61 = 20.4203521493148

x62 = -23.5619450095483

x63 = -42.4115001303843

x64 = -98.9601683405496

x65 = 45.5530940213973

x66 = -36.1283158534159

График