2cos^2x+3cosx+1=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: 2cos^2x+3cosx+1=0

Вы ввели

     2                      
2*cos (x) + 3*cos(x) + 1 = 0

$$2 \cos^{2}{\left(x \right)} + 3 \cos{\left(x \right)} + 1 = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$2 \cos^{2}{\left(x \right)} + 3 \cos{\left(x \right)} + 1 = 0$$
преобразуем
$$3 \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)} + 2 = 0$$
$$\left(2 \cos^{2}{\left(x \right)} + 3 \cos{\left(x \right)} + 1\right) + 0 = 0$$
Сделаем замену
$$w = \cos{\left(x \right)}$$
Это уравнение вида

a*w^2 + b*w + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 2$$
$$b = 3$$
$$c = 1$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(3)^2 - 4 * (2) * (1) = 1

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$w_{1} = - \frac{1}{2}$$
Упростить
$$w_{2} = -1$$
Упростить
делаем обратную замену
$$\cos{\left(x \right)} = w$$
Дано уравнение
$$\cos{\left(x \right)} = w$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}$$
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi$$
Или
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}$$
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi$$
, где n - любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{1} \right)}$$
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{2} \right)}$$
$$x_{1} = \pi n + \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{2} \right)}$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(-1 \right)}$$
$$x_{2} = \pi n + \pi$$
$$x_{3} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{1} \right)} - \pi$$
$$x_{3} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{2} \right)}$$
$$x_{3} = \pi n - \frac{\pi}{3}$$
$$x_{4} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{2} \right)} - \pi$$
$$x_{4} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(-1 \right)}$$
$$x_{4} = \pi n$$

Быстрый ответ

     2*pi
x1 = ----
      3  

$$x_{1} = \frac{2 \pi}{3}$$

x2 = pi

$$x_{2} = \pi$$

     4*pi
x3 = ----
      3  

$$x_{3} = \frac{4 \pi}{3}$$

Сумма и произведение корней

сумма

    2*pi        4*pi
0 + ---- + pi + ----
     3           3  

$$\frac{4 \pi}{3} + \left(\left(0 + \frac{2 \pi}{3}\right) + \pi\right)$$

=

3*pi

$$3 \pi$$

произведение

  2*pi    4*pi
1*----*pi*----
   3       3  

$$\frac{4 \pi}{3} \pi 1 \cdot \frac{2 \pi}{3}$$

=

    3
8*pi 
-----
  9  

$$\frac{8 \pi^{3}}{9}$$

Численный ответ

x1 = -23.0383461263252

x2 = 78.5398162170863

x3 = -28.2743337523957

x4 = 83.7758040957278

x5 = 33.5103216382911

x6 = -20.943951023932

x7 = 34.5575190657994

x8 = -16.7551608191456

x9 = -96.342174710087

x10 = -33.5103216382911

x11 = -85.870199198121

x12 = 53.4070757583034

x13 = 48.1710873550435

x14 = -90.0589894029074

x15 = 39.7935069454707

x16 = -34.5575186517

x17 = -71.2094334813686

x18 = 29.3215314335047

x19 = 27.2271363311115

x20 = -52.3598775598299

x21 = 10.471975511966

x22 = 2.0943951023932

x23 = 77.4926187885482

x24 = -53.4070752322126

x25 = 73.3038285837618

x26 = 59.6902605482208

x27 = 35.6047167406843

x28 = -79.5870138909414

x29 = -47.1238891179722

x30 = 67.0206432765823

x31 = 23.0383461263252

x32 = 54.4542726622231

x33 = 40.8407043207384

x34 = -9.42477808408221

x35 = -59.6902604571171

x36 = -15.7079632962924

x37 = 84.8230010880439

x38 = -78.5398161317553

x39 = 98.4365698124802

x40 = -92.1533845053006

x41 = 71.2094334813686

x42 = -4.18879020478639

x43 = -98.4365698124802

x44 = -39.7935069454707

x45 = -27.2271363311115

x46 = -10.471975511966

x47 = 65.9734457526283

x48 = 72.2566310277234

x49 = -65.9734457653039

x50 = 16.7551608191456

x51 = -91.1061871937439

x52 = 90.0589894029074

x53 = -35.6047167406843

x54 = 96.342174710087

x55 = 8.37758040957278

x56 = -64.9262481741891

x57 = -15.7079631813266

x58 = -8.37758040957278

x59 = 85.870199198121

x60 = -21.9911485864829

x61 = 60.7374579694027

x62 = -41.8879020478639

x63 = 41.8879020478639

x64 = -72.2566309043665

x65 = -54.4542726622231

x66 = 72.2566307305989

x67 = -46.0766922526503

x68 = -29.3215314335047

x69 = 52.3598775598299

x70 = 28.2743338652706

x71 = -77.4926187885482

x72 = -2.0943951023932

x73 = 4.18879020478639

x74 = -73.3038285837618

x75 = 97.3893730687323

x76 = -58.6430628670095

x77 = 58.6430628670095

x78 = -67.0206432765823

x79 = 21.9911485851658

x80 = -97.3893723780855

x81 = 20.943951023932

x82 = -171.740398396242

x83 = -14.6607657167524

x84 = 15.7079633985169

x85 = -3.14159183464792

x86 = 9.4247784319036

x87 = 92.1533845053006

x88 = 46.0766922526503

x89 = 64.9262481741891

x90 = -47.1238890529041

x91 = -83.7758040957278

x92 = 14.6607657167524

x93 = 79.5870138909414

x94 = -60.7374579694027

График