2sin^2x-3sinx+1=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: 2sin^2x-3sinx+1=0

Вы ввели

     2                      
2*sin (x) - 3*sin(x) + 1 = 0

$$2 \sin^{2}{\left(x \right)} - 3 \sin{\left(x \right)} + 1 = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$2 \sin^{2}{\left(x \right)} - 3 \sin{\left(x \right)} + 1 = 0$$
преобразуем
$$2 \sin^{2}{\left(x \right)} - 3 \sin{\left(x \right)} + 1 = 0$$
$$\left(2 \sin^{2}{\left(x \right)} - 3 \sin{\left(x \right)} + 1\right) + 0 = 0$$
Сделаем замену
$$w = \sin{\left(x \right)}$$
Это уравнение вида

a*w^2 + b*w + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 2$$
$$b = -3$$
$$c = 1$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-3)^2 - 4 * (2) * (1) = 1

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$w_{1} = 1$$
Упростить
$$w_{2} = \frac{1}{2}$$
Упростить
делаем обратную замену
$$\sin{\left(x \right)} = w$$
Дано уравнение
$$\sin{\left(x \right)} = w$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi$$
Или
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi$$
, где n - любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w_{1} \right)}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(1 \right)}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w_{2} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \frac{\pi}{6}$$
$$x_{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w_{1} \right)} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(1 \right)} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n + \frac{\pi}{2}$$
$$x_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w_{2} \right)} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} \right)} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n + \frac{5 \pi}{6}$$

Быстрый ответ

     pi
x1 = --
     6 

$$x_{1} = \frac{\pi}{6}$$

     pi
x2 = --
     2 

$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$

     5*pi
x3 = ----
      6  

$$x_{3} = \frac{5 \pi}{6}$$

Сумма и произведение корней

сумма

    pi   pi   5*pi
0 + -- + -- + ----
    6    2     6  

$$\left(\left(0 + \frac{\pi}{6}\right) + \frac{\pi}{2}\right) + \frac{5 \pi}{6}$$

=

3*pi
----
 2  

$$\frac{3 \pi}{2}$$

произведение

  pi pi 5*pi
1*--*--*----
  6  2   6  

$$\frac{5 \pi}{6} \frac{\pi}{2} \cdot 1 \frac{\pi}{6}$$

=

    3
5*pi 
-----
  72 

$$\frac{5 \pi^{3}}{72}$$

Численный ответ

x1 = -42.4115007405972

x2 = -80.1106125842073

x3 = -37.1755130674792

x4 = -87.4409955249159

x5 = 45.5530934927802

x6 = -17.278759508473

x7 = 40.317105721069

x8 = -12.0427718387609

x9 = -93.7241808320955

x10 = -10.9955739548254

x11 = 14.1371670807075

x12 = 0.523598775598299

x13 = -79.0634151153431

x14 = 58.1194642838711

x15 = -86.3937978734206

x16 = 7.85398173225698

x17 = -56.025068989018

x18 = -100.007366139275

x19 = -30.8923277602996

x20 = 32.9867230481337

x21 = 78.0162175641465

x22 = -23.5619450004191

x23 = -16.2315620435473

x24 = 38.2227106186758

x25 = 84.2994028713261

x26 = -18.3259571459405

x27 = 8.90117918517108

x28 = -62.3082542961976

x29 = 6.80678408277789

x30 = -66.497044500984

x31 = 50.789081233035

x32 = 25.6563400043166

x33 = -9.94837673636768

x34 = -111.526539747198

x35 = 59.1666616426078

x36 = 71.733032256967

x37 = 2.61799387799149

x38 = 63.3554518473942

x39 = -29.8451300991955

x40 = -91.6297857297023

x41 = -3.66519142918809

x42 = -53.9306738866248

x43 = -68.5914396033772

x44 = 19.3731546971371

x45 = 27.7507351067098

x46 = -61.2610565227993

x47 = 1.57079638342343

x48 = 139.800872765188

x49 = 52.8834763354282

x50 = 39.2699080534577

x51 = 26.7035375608868

x52 = 65.4498469497874

x53 = -92.6769829494681

x54 = -47.6474885794452

x55 = 21.4675497995303

x56 = -72.7802298081635

x57 = -36.128315425571

x58 = 15.1843644923507

x59 = 69.6386371545737

x60 = 75.9218224617533

x61 = -85.3466004225227

x62 = 83.2522050326052

x63 = 88.4881930761125

x64 = -22.5147473507269

x65 = 46.6002910282486

x66 = -67.5442421566185

x67 = 76.9690200112793

x68 = -73.8274272806479

x69 = -4.71238891024587

x70 = 95.8185760456344

x71 = 31.9395253114962

x72 = -43.4586983746588

x73 = -24.60914245312

x74 = -5.75958653158129

x75 = -49.7418836818384

x76 = -81.1578102177363

x77 = 94.7713783832921

x78 = -73.8274274914538

x79 = -54.9778712302784

x80 = -60.2138591938044

x81 = -74.8746249105567

x82 = 82.2050077689329

x83 = 101.054563690472

x84 = -48.6946859020565

x85 = 51.8362788893194

x86 = 13.0899693899575

x87 = 34.0339204138894

x88 = 44.5058959258554

x89 = 70.6858346623125

x90 = 20.4203521563718

x91 = 57.0722665402146

x92 = -35.081117965086

x93 = -48.694685953454

x94 = -97.9129710368819

x95 = 64.4026493137203

x96 = -28.7979326579064

x97 = 96.8657734856853

x98 = -41.3643032722656

x99 = 89.5353905764122

x100 = 90.5825881785057

График