3x^4+16x^2-12=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: 3x^4+16x^2-12=0

Вы ввели

   4       2         
3*x  + 16*x  - 12 = 0

$$3 x^{4} + 16 x^{2} - 12 = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение:
$$3 x^{4} + 16 x^{2} - 12 = 0$$
Сделаем замену
$$v = x^{2}$$
тогда ур-ние будет таким:
$$3 v^{2} + 16 v - 12 = 0$$
Это уравнение вида

a*v^2 + b*v + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$v_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$v_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 3$$
$$b = 16$$
$$c = -12$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(16)^2 - 4 * (3) * (-12) = 400

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

v1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

v2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$v_{1} = \frac{2}{3}$$
Упростить
$$v_{2} = -6$$
Упростить
Получаем окончательный ответ:
Т.к.
$$v = x^{2}$$
то
$$x_{1} = \sqrt{v_{1}}$$
$$x_{2} = - \sqrt{v_{1}}$$
$$x_{3} = \sqrt{v_{2}}$$
$$x_{4} = - \sqrt{v_{2}}$$
тогда:
$$x_{1} =$$
$$\frac{0}{1} + \frac{1 \left(\frac{2}{3}\right)^{\frac{1}{2}}}{1} = \frac{\sqrt{6}}{3}$$
$$x_{2} =$$
$$\frac{\left(-1\right) \left(\frac{2}{3}\right)^{\frac{1}{2}}}{1} + \frac{0}{1} = - \frac{\sqrt{6}}{3}$$
$$x_{3} =$$
$$\frac{0}{1} + \frac{1 \left(-6\right)^{\frac{1}{2}}}{1} = \sqrt{6} i$$
$$x_{4} =$$
$$\frac{0}{1} + \frac{\left(-1\right) \left(-6\right)^{\frac{1}{2}}}{1} = - \sqrt{6} i$$

Быстрый ответ

        ___ 
     -\/ 6  
x1 = -------
        3   

$$x_{1} = - \frac{\sqrt{6}}{3}$$

       ___
     \/ 6 
x2 = -----
       3  

$$x_{2} = \frac{\sqrt{6}}{3}$$

          ___
x3 = -I*\/ 6 

$$x_{3} = - \sqrt{6} i$$

         ___
x4 = I*\/ 6 

$$x_{4} = \sqrt{6} i$$

Сумма и произведение корней

сумма

      ___     ___                    
    \/ 6    \/ 6        ___       ___
0 - ----- + ----- - I*\/ 6  + I*\/ 6 
      3       3                      

$$\left(\left(\left(- \frac{\sqrt{6}}{3} + 0\right) + \frac{\sqrt{6}}{3}\right) - \sqrt{6} i\right) + \sqrt{6} i$$

=

0

$$0$$

произведение

     ___    ___                 
  -\/ 6   \/ 6       ___     ___
1*-------*-----*-I*\/ 6 *I*\/ 6 
     3      3                   

$$\sqrt{6} i \frac{\sqrt{6}}{3} \cdot 1 \left(- \frac{\sqrt{6}}{3}\right) \left(- \sqrt{6} i\right)$$

=

-4

$$-4$$

Численный ответ

x1 = -2.44948974278318*i

x2 = 2.44948974278318*i

x3 = 0.816496580927726

x4 = -0.816496580927726

График