4cos^2x-8cosx+3=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: 4cos^2x-8cosx+3=0

Вы ввели

     2                      
4*cos (x) - 8*cos(x) + 3 = 0

$$4 \cos^{2}{\left(x \right)} - 8 \cos{\left(x \right)} + 3 = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$4 \cos^{2}{\left(x \right)} - 8 \cos{\left(x \right)} + 3 = 0$$
преобразуем
$$4 \cos^{2}{\left(x \right)} - 8 \cos{\left(x \right)} + 3 = 0$$
$$\left(4 \cos^{2}{\left(x \right)} - 8 \cos{\left(x \right)} + 3\right) + 0 = 0$$
Сделаем замену
$$w = \cos{\left(x \right)}$$
Это уравнение вида

a*w^2 + b*w + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 4$$
$$b = -8$$
$$c = 3$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-8)^2 - 4 * (4) * (3) = 16

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$w_{1} = \frac{3}{2}$$
Упростить
$$w_{2} = \frac{1}{2}$$
Упростить
делаем обратную замену
$$\cos{\left(x \right)} = w$$
Дано уравнение
$$\cos{\left(x \right)} = w$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}$$
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi$$
Или
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}$$
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi$$
, где n - любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{1} \right)}$$
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(\frac{3}{2} \right)}$$
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(\frac{3}{2} \right)}$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{2} \right)}$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{2} \right)}$$
$$x_{2} = \pi n + \frac{\pi}{3}$$
$$x_{3} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{1} \right)} - \pi$$
$$x_{3} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(\frac{3}{2} \right)}$$
$$x_{3} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(\frac{3}{2} \right)}$$
$$x_{4} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{2} \right)} - \pi$$
$$x_{4} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{2} \right)}$$
$$x_{4} = \pi n - \frac{2 \pi}{3}$$

Сумма и произведение корней

сумма

    pi   5*pi                                                           
0 + -- + ---- + 2*pi - I*im(acos(3/2)) + I*im(acos(3/2)) + re(acos(3/2))
    3     3                                                             

$$\left(\left(\left(0 + \frac{\pi}{3}\right) + \frac{5 \pi}{3}\right) + \left(2 \pi - i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(\frac{3}{2} \right)}\right)}\right)\right) + \left(\operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(\frac{3}{2} \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(\frac{3}{2} \right)}\right)}\right)$$

=

4*pi + re(acos(3/2))

$$\operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(\frac{3}{2} \right)}\right)} + 4 \pi$$

произведение

  pi 5*pi                                                           
1*--*----*(2*pi - I*im(acos(3/2)))*(I*im(acos(3/2)) + re(acos(3/2)))
  3   3                                                             

$$\frac{5 \pi}{3} \cdot 1 \frac{\pi}{3} \cdot \left(2 \pi - i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(\frac{3}{2} \right)}\right)}\right) \left(\operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(\frac{3}{2} \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(\frac{3}{2} \right)}\right)}\right)$$

=

    2                                                           
5*pi *(2*pi - I*im(acos(3/2)))*(I*im(acos(3/2)) + re(acos(3/2)))
----------------------------------------------------------------
                               9                                

$$\frac{5 \pi^{2} \cdot \left(2 \pi - i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(\frac{3}{2} \right)}\right)}\right) \left(\operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(\frac{3}{2} \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(\frac{3}{2} \right)}\right)}\right)}{9}$$

Быстрый ответ

     pi
x1 = --
     3 

$$x_{1} = \frac{\pi}{3}$$

     5*pi
x2 = ----
      3  

$$x_{2} = \frac{5 \pi}{3}$$

x3 = 2*pi - I*im(acos(3/2))

$$x_{3} = 2 \pi - i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(\frac{3}{2} \right)}\right)}$$

x4 = I*im(acos(3/2)) + re(acos(3/2))

$$x_{4} = \operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(\frac{3}{2} \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(\frac{3}{2} \right)}\right)}$$

Численный ответ

x1 = -63.8790506229925

x2 = 57.5958653158129

x3 = 63.8790506229925

x4 = 49.2182849062401

x5 = 74.3510261349584

x6 = 51.3126800086333

x7 = -45.0294947014537

x8 = -17.8023583703422

x9 = -5.23598775598299

x10 = -24.0855436775217

x11 = -95.2949771588904

x12 = -89.0117918517108

x13 = 359.188760060433

x14 = 189.542756766584

x15 = 70.162235930172

x16 = -30.3687289847013

x17 = 93.2005820564972

x18 = 32.4631240870945

x19 = -38.7463093942741

x20 = 5.23598775598299

x21 = 61.7846555205993

x22 = -68.0678408277789

x23 = 45.0294947014537

x24 = 80.634211442138

x25 = 1.0471975511966

x26 = 24.0855436775217

x27 = 19.8967534727354

x28 = -11.5191730631626

x29 = 11.5191730631626

x30 = 86.9173967493176

x31 = -61.7846555205993

x32 = 99.4837673636768

x33 = -51.3126800086333

x34 = 82.7286065445312

x35 = -1.0471975511966

x36 = -76.4454212373516

x37 = 183.259571459405

x38 = -7.33038285837618

x39 = -220.958683302482

x40 = 17.8023583703422

x41 = -118.333323285216

x42 = 89.0117918517108

x43 = -13.6135681655558

x44 = 68.0678408277789

x45 = -99.4837673636768

x46 = -80.634211442138

x47 = -19.8967534727354

x48 = 36.6519142918809

x49 = 7.33038285837618

x50 = 76.4454212373516

x51 = -55.5014702134197

x52 = -36.6519142918809

x53 = 286499.636439224

x54 = -57.5958653158129

x55 = -32.4631240870945

x56 = -82.7286065445312

x57 = -42.9350995990605

x58 = -105.766952670856

x59 = 38.7463093942741

x60 = -306.828882500603

x61 = 30.3687289847013

x62 = 55.5014702134197

x63 = 26.1799387799149

x64 = -93.2005820564972

x65 = -70.162235930172

x66 = -74.3510261349584

x67 = 42.9350995990605

x68 = -86.9173967493176

x69 = 95.2949771588904

x70 = 13.6135681655558

x71 = -49.2182849062401

x72 = -26.1799387799149

График