4cos^4x-4cos^2x+1=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: 4cos^4x-4cos^2x+1=0

Вы ввели

     4           2           
4*cos (x) - 4*cos (x) + 1 = 0

$$\left(4 \cos^{4}{\left(x \right)} - 4 \cos^{2}{\left(x \right)}\right) + 1 = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$\left(4 \cos^{4}{\left(x \right)} - 4 \cos^{2}{\left(x \right)}\right) + 1 = 0$$
преобразуем
$$\frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2} = 0$$
$$\left(\left(4 \cos^{4}{\left(x \right)} - 4 \cos^{2}{\left(x \right)}\right) + 1\right) + 0 = 0$$
Сделаем замену
$$w = \cos{\left(x \right)}$$
Дано уравнение:
$$4 w^{4} - 4 w^{2} + 1 = 0$$
Сделаем замену
$$v = w^{2}$$
тогда ур-ние будет таким:
$$4 v^{2} - 4 v + 1 = 0$$
Это уравнение вида

a*v^2 + b*v + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$v_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$v_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 4$$
$$b = -4$$
$$c = 1$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-4)^2 - 4 * (4) * (1) = 0

Т.к. D = 0, то корень всего один.

v = -b/2a = --4/2/(4)

$$v_{1} = \frac{1}{2}$$
Получаем окончательный ответ:
Т.к.
$$v = w^{2}$$
то
$$w_{1} = \sqrt{v_{1}}$$
$$w_{2} = - \sqrt{v_{1}}$$
тогда:
$$w_{1} = $$
$$\frac{0}{1} + \frac{1 \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{2}}}{1} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$w_{2} = $$
$$\frac{\left(-1\right) \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{2}}}{1} + \frac{0}{1} = - \frac{\sqrt{2}}{2}$$
делаем обратную замену
$$\cos{\left(x \right)} = w$$
Дано уравнение
$$\cos{\left(x \right)} = w$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}$$
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi$$
Или
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}$$
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi$$
, где n - любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{1} \right)}$$
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{2} \right)}$$
$$x_{1} = \pi n + \frac{\pi}{3}$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{1} \right)} - \pi$$
$$x_{2} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{2} \right)}$$
$$x_{2} = \pi n - \frac{2 \pi}{3}$$

Быстрый ответ

     pi
x1 = --
     4 

$$x_{1} = \frac{\pi}{4}$$

     3*pi
x2 = ----
      4  

$$x_{2} = \frac{3 \pi}{4}$$

     5*pi
x3 = ----
      4  

$$x_{3} = \frac{5 \pi}{4}$$

     7*pi
x4 = ----
      4  

$$x_{4} = \frac{7 \pi}{4}$$

Сумма и произведение корней

сумма

    pi   3*pi   5*pi   7*pi
0 + -- + ---- + ---- + ----
    4     4      4      4  

$$\frac{7 \pi}{4} + \left(\left(\left(0 + \frac{\pi}{4}\right) + \frac{3 \pi}{4}\right) + \frac{5 \pi}{4}\right)$$

=

4*pi

$$4 \pi$$

произведение

  pi 3*pi 5*pi 7*pi
1*--*----*----*----
  4   4    4    4  

$$\frac{7 \pi}{4} \frac{5 \pi}{4} \frac{3 \pi}{4} \cdot 1 \frac{\pi}{4}$$

=

      4
105*pi 
-------
  256  

$$\frac{105 \pi^{4}}{256}$$

Численный ответ

x1 = -79.325214568582

x2 = 93.462381626966

x3 = 52.6216768417318

x4 = 84.0376034192262

x5 = -16.4933615591447

x6 = 2.35619442704144

x7 = 32.2013247418649

x8 = -24.3473429491357

x9 = 49.4800839996026

x10 = -62.0464548652478

x11 = -90.3207886690967

x12 = -13.3517688688202

x13 = 77.7544182976932

x14 = -71.4712329855388

x15 = -465.741111003318

x16 = 90.3207887457625

x17 = -33.7721211587531

x18 = 38.4845098973237

x19 = 25.918139458182

x20 = 19.6349541951516

x21 = 22.7765470504813

x22 = -33.7721210085549

x23 = -38.4845100906754

x24 = -19.6349541522704

x25 = -84.0376034471411

x26 = 66.7588441131007

x27 = 44.7676955973049

x28 = 60.4756584745212

x29 = 46.3384915861013

x30 = -76.1836217409515

x31 = 40.055306209136

x32 = 3.92699087784889

x33 = -49.4800844094223

x34 = -10.210176008893

x35 = 68.3296401658547

x36 = -2.35619437671896

x37 = -85.608399889346

x38 = -18.0641577028072

x39 = -27.4889358330644

x40 = 96.6039739860399

x41 = 98.1747704999445

x42 = 85.6083999066255

x43 = 54.1924733267788

x44 = 47.9092880382216

x45 = -93.4623815613976

x46 = -57.3340660035604

x47 = 71.4712325592813

x48 = -0.785398166130751

x49 = -5.49778725647941

x50 = 30.6305282706443

x51 = 18.0641575853046

x52 = 11.7809725680634

x53 = -3.92699105526517

x54 = 5.49778696422816

x55 = -77.7544181730257

x56 = -82.4668071752083

x57 = 231825.190491789

x58 = -11.780972425667

x59 = 27.4889354808973

x60 = -41.6261027314388

x61 = -91.8915846169758

x62 = 16.4933613203203

x63 = 41.6261027663993

x64 = 88.7499926302988

x65 = -98.1747703186947

x66 = 33.7721211448164

x67 = 99.7455668738049

x68 = 91.8915851975093

x69 = 69.9004366179912

x70 = 62.0464548185713

x71 = 76.1836219127145

x72 = -68.3296400953708

x73 = -55.763269590985

x74 = 0.785398118063847

x75 = 74.6128254135616

x76 = -63.6172513104641

x77 = -98.1747705479865

x78 = -40.0553062838236

x79 = -99.7455667547305

x80 = 8.63937970041344

x81 = -54.1924731634027

x82 = -60.4756586297418

x83 = -32.2013245860493

x84 = -46.3384915220366

x85 = -35.3429174368834

x86 = -19.6349539733882

x87 = 10.2101761577675

x88 = 55.7632697213615

x89 = 82.4668070519044

x90 = 63.6172513369298

x91 = 24.347343006498

График